Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{2-4b}+\frac{b+1}{8b^3-1}\cdot\frac{4b^2+2b+1}{1+2b}\right):\frac{1}{4b-2}\).

Разложим разность кубов: \(8b^3-1=(2b-1)(4b^2+2b+1)\). Поэтому

\[\frac{b+1}{8b^3-1}\cdot\frac{4b^2+2b+1}{1+2b}=\frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)}.\]

Также \(\frac{1}{2-4b}=-\frac{1}{2(2b-1)}\). Складываем дроби:

\[ -\frac{1}{2(2b-1)}+\frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)}=\frac{-(2b+1)+2(b+1)}{2(2b-1)(2b+1)}=\frac{1}{2(2b-1)(2b+1)}.\]

Деление на \(\frac{1}{4b-2}\) заменяем умножением на обратную дробь:

\[\frac{1}{2(2b-1)(2b+1)}\cdot(4b-2)=\frac{1}{2(2b-1)(2b+1)}\cdot2(2b-1)=\frac{1}{2b+1}.\]

Исходное выражение определено при \(b\ne\frac12\) и \(b\ne-\frac12\).

Ответ: \(\frac{1}{2b+1}\), где \(b\ne\pm\frac12\).