Упростите выражение: \(\left(\frac{1+a^{-3}}{1-a^{-3}}\right)^{-1}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применим свойство отрицательной степени \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) к числителю и знаменателю дроби внутри скобок.
   \( a^{-3} = \frac{1}{a^3} \)
   Подставляем в исходное выражение:
   \( \left(\frac{1+\frac{1}{a^3}}{1-\frac{1}{a^3}}\right)^{-1} \)
2. Шаг 2: Приведем числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю.
   Числитель: \( 1 + \frac{1}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} + \frac{1}{a^3} = \frac{a^3+1}{a^3} \)
   Знаменатель: \( 1 - \frac{1}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} - \frac{1}{a^3} = \frac{a^3-1}{a^3} \)
3. Шаг 3: Подставим полученные выражения обратно в дробь.
   \( \left(\frac{\frac{a^3+1}{a^3}}{\frac{a^3-1}{a^3}}\right)^{-1} \)
   Теперь разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь:
   \( \left(\frac{a^3+1}{a^3} \cdot \frac{a^3}{a^3-1}\right)^{-1} \)
   Сократим \(a^3\):
   \( \left(\frac{a^3+1}{a^3-1}\right)^{-1} \)
4. Шаг 4: Применим свойство отрицательной степени \(x^{-1} = \frac{1}{x}\) к полученной дроби.
   \( \frac{1}{\frac{a^3+1}{a^3-1}} \)
   Это равно обратной дроби:
   \( \frac{a^3-1}{a^3+1} \)

Ответ: \( \frac{a^3-1}{a^3+1} \)