Упростите выражение. $$ \left( \frac{2x+y}{y} - \frac{2x}{2x+y} \right) : \left( \frac{2x+y}{2x} - \frac{y}{2x+y} \right) $$

Решение:

1. Приведём выражения в скобках к общему знаменателю.
2. Первая скобка: \[ \frac{2x+y}{y} - \frac{2x}{2x+y} = \frac{(2x+y)(2x+y) - 2x \cdot y}{y(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2 - 2xy}{y(2x+y)} = \frac{4x^2 + 4xy + y^2 - 2xy}{y(2x+y)} = \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)} \]
3. Вторая скобка: \[ \frac{2x+y}{2x} - \frac{y}{2x+y} = \frac{(2x+y)(2x+y) - y \cdot 2x}{2x(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2 - 2xy}{2x(2x+y)} = \frac{4x^2 + 4xy + y^2 - 2xy}{2x(2x+y)} = \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{2x(2x+y)} \]
4. Теперь разделим первое выражение на второе: \[ \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)} : \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{2x(2x+y)} \]
5. При делении дробей, вторую дробь переворачиваем и умножаем: \[ \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)} \cdot \frac{2x(2x+y)}{4x^2 + 2xy + y^2} \]
6. Сокращаем одинаковые множители: \[ \frac{\cancel{4x^2 + 2xy + y^2}}{\cancel{y}}\cancel{(2x+y)}} \cdot \frac{2x\cancel{(2x+y)}} {\cancel{4x^2 + 2xy + y^2}} = \frac{2x}{y} \]

Ответ: \( \frac{2x}{y} \).