Упростите выражение \( \left( \frac{4c}{3b^{-1}} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{c^{-4}}{256b^{6}} \right)^{-1} \) и найдите его значение при \( c = 0,25 \) и \( b = 5 \).

Решение:

Упростим выражение:

1. Возведём первую скобку в степень -4: \( \left( \frac{4c}{3b^{-1}} \right)^{-4} = \left( \frac{3b^{-1}}{4c} \right)^{4} = \frac{(3b^{-1})^{4}}{(4c)^{4}} = \frac{3^{4}b^{-4}}{4^{4}c^{4}} = \frac{81b^{-4}}{256c^{4}} \).
2. Возведём вторую скобку в степень -1: \( \left( \frac{c^{-4}}{256b^{6}} \right)^{-1} = \frac{256b^{6}}{c^{-4}} = 256b^{6}c^{4} \).
3. Перемножим полученные выражения: \( \frac{81b^{-4}}{256c^{4}} \cdot 256b^{6}c^{4} = 81 b^{-4} b^{6} = 81 b^{2} \).

Теперь найдём значение выражения при \( c = 0,25 \) и \( b = 5 \). Заметим, что значение \( c \) не влияет на результат, так как оно сократилось.

Подставим \( b = 5 \):

\[ 81 b^{2} = 81 \cdot 5^{2} = 81 \cdot 25 \]

Вычислим произведение:

\[ 81 \times 25 = 2025 \]

Ответ: 2025