Упростите выражение: \(\left(\frac{a^2+1}{a^2+2a}+\frac{2}{a+2}\right):\frac{a+1}{a+2}\). При каком значении \(a\) значение выражения равно 2?

ОДЗ исходного выражения: знаменатели не равны нулю, а делитель не равен нулю. Поэтому \(a\ne 0,-2,-1\).

1. Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю. Используем \(a^2+2a=a(a+2)\):

   \[\frac{a^2+1}{a(a+2)}+\frac{2a}{a(a+2)}=\frac{a^2+2a+1}{a(a+2)}=\frac{(a+1)^2}{a(a+2)}.\]

2. Выполним деление на дробь:

   \[\frac{(a+1)^2}{a(a+2)}:\frac{a+1}{a+2}=\frac{(a+1)^2}{a(a+2)}\cdot\frac{a+2}{a+1}=\frac{a+1}{a}.\]

3. Найдём, когда выражение равно 2:

   \[\frac{a+1}{a}=2,\qquad a+1=2a,\qquad a=1.\]

   Значение \(a=1\) входит в ОДЗ.

Ответ: \(a=1\).