Упростите выражение \(\left(\frac{x}{x-3}-\frac{x-3}{3}\right):\frac{2}{x^2-9}\) и найдите его значение при \(x=6\).

ОДЗ: \(x\ne3\) и \(x\ne-3\).

Преобразуем разность в скобках:

\[\frac{x}{x-3}-\frac{x-3}{3}=\frac{3x-(x-3)^2}{3(x-3)}=\frac{-x^2+9x-9}{3(x-3)}.\]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\[\left(\frac{-x^2+9x-9}{3(x-3)}\right):\frac{2}{x^2-9}=\frac{-x^2+9x-9}{3(x-3)}\cdot\frac{x^2-9}{2}.\]

Так как \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), сокращаем множитель \(x-3\):

\[\frac{(-x^2+9x-9)(x+3)}{6}.\]

Упрощённое выражение:

\[\boxed{\frac{(-x^2+9x-9)(x+3)}{6}}.\]

При \(x=6\):

\[\frac{(-36+54-9)(6+3)}{6}=\frac{9\cdot9}{6}=\frac{81}{6}=\frac{27}{2}.\]

Ответ: \(\frac{27}{2}\).