Упростите выражение: \(\left(\frac{a^5}{b}\right)^2 \left(\frac{b^2}{3c}\right)^5 \left(\frac{3c^2}{a}\right)^7\)

Для упрощения выражения \(\left(\frac{a^5}{b}\right)^2 \left(\frac{b^2}{3c}\right)^5 \left(\frac{3c^2}{a}\right)^7\), выполним следующие шаги:

1. Раскроем каждую скобку, применяя свойства степеней: \((x/y)^n = x^n / y^n\) и \((x^n)^m = x^{n*m}\):

\(\left(\frac{a^5}{b}\right)^2 = \frac{a^{5*2}}{b^2} = \frac{a^{10}}{b^2}\)

\(\left(\frac{b^2}{3c}\right)^5 = \frac{b^{2*5}}{(3c)^5} = \frac{b^{10}}{3^5 c^5} = \frac{b^{10}}{243c^5}\)

\(\left(\frac{3c^2}{a}\right)^7 = \frac{(3c^2)^7}{a^7} = \frac{3^7 c^{2*7}}{a^7} = \frac{2187c^{14}}{a^7}\)

2. Перемножим полученные выражения:

\(\frac{a^{10}}{b^2} \cdot \frac{b^{10}}{243c^5} \cdot \frac{2187c^{14}}{a^7} = \frac{a^{10} b^{10} 2187 c^{14}}{b^2 243 c^5 a^7}\)

3. Упростим выражение, используя свойства степеней \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) и сократим численные коэффициенты:

\(\frac{a^{10}}{a^7} = a^{10-7} = a^3\)

\(\frac{b^{10}}{b^2} = b^{10-2} = b^8\)

\(\frac{c^{14}}{c^5} = c^{14-5} = c^9\)

\(\frac{2187}{243} = 9\)

4. Объединим упрощенные части:

\(9a^3 b^8 c^9\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(9a^3 b^8 c^9\).

Ответ: \(9a^3b^8c^9\)