Упростите выражение: \(\sqrt{0,375} \cdot (\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{150} - \sqrt{6})\)

Решение:

Для начала, давай преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

\(0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{3}{8}\)

Теперь подставим это значение в наше выражение:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{150} - \sqrt{6} \right) \]

Разложим \(\sqrt{150}\) на множители:

\[ \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 5\sqrt{6} - \sqrt{6} \right) \]

Упростим то, что в скобках:

\[ \sqrt{\frac{2}{3}} + 5\sqrt{6} - \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{6} \]

Итоговое выражение:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{6} \right) \]

Теперь раскроем скобки, умножая \(\sqrt{\frac{3}{8}}\) на каждое слагаемое:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 4\sqrt{6} \]

Первое слагаемое:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{6}{24}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Второе слагаемое:

\[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 4\sqrt{6} = 4 \sqrt{\frac{3}{8} \times 6} = 4 \sqrt{\frac{18}{8}} = 4 \sqrt{\frac{9}{4}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Сложим оба слагаемых:

\[ \frac{1}{2} + 6 = 6.5 \]

Ответ: 6.5