Упростите выражение (вариант 4): а) $m-n+\frac{4mn}{m-n}$; б) $\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}$; в) $\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}$; г) $\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение (вариант 4): а) $m-n+\frac{4mn}{m-n}$; б) $\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Запишем $m-n$ с общим знаменателем:
$m-n+\frac{4mn}{m-n}=\frac{(m-n)^2+4mn}{m-n}=\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}=\frac{(m+n)^2}{m-n}$, где $m\ne n$.
б) Общий знаменатель — $xy(x-y)$:
$\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}=\frac{2xy+(x-y)^2}{xy(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{xy(x-y)}$, где $x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y$.
в) Общий знаменатель — $(p+2)(p-2)$:
$\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}=\frac{(p-1)(p-2)-(p+1)(p+2)}{p^2-4}=\frac{-6p}{p^2-4}$, где $p\ne-2,2$.
г) Разложим знаменатели на множители: $mn-m^2=-m(m-n)$, $mn-n^2=n(m-n)$. Тогда
$\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}=\frac{-n(8m-n)-m(m-8n)}{mn(m-n)}=\frac{n^2-m^2}{mn(m-n)}=-\frac{m+n}{mn}$, где $m\ne0,\ n\ne0,\ m\ne n$.

Упростите выражение (вариант 4): а) \(m-n+\frac{4mn}{m-n}\); б) \(\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}\); в) \(\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}\); г) \(\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}\).