Упростите выражение: (x^{-3} + 4) (x^{-3} - 4) - (x^{-3} – 4)^2 =

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу разности квадратов: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\). В нашем случае \(a = x^{-3}\) и \(b = 4\):

\[ (x^{-3} + 4)(x^{-3} - 4) = (x^{-3})^2 - 4^2 = x^{-6} - 16 \]

• Шаг 2: Раскроем скобки во втором слагаемом, используя формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). В нашем случае \(a = x^{-3}\) и \(b = 4\):

\[ (x^{-3} - 4)^2 = (x^{-3})^2 - 2 \cdot x^{-3} \cdot 4 + 4^2 = x^{-6} - 8x^{-3} + 16 \]

• Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

\[ (x^{-6} - 16) - (x^{-6} - 8x^{-3} + 16) \]

• Шаг 4: Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым выражением:

\[ x^{-6} - 16 - x^{-6} + 8x^{-3} - 16 \]

• Шаг 5: Приведем подобные слагаемые:

\[ x^{-6} - x^{-6} + 8x^{-3} - 16 - 16 = 8x^{-3} - 32 \]

• Шаг 6: Запишем результат в виде рациональной дроби:

\[ 8x^{-3} - 32 = \frac{8}{x^3} - 32 = \frac{8 - 32x^3}{x^3} \]

Ответ: \(\frac{8}{x^3} - 32\) или \(\frac{8 - 32x^3}{x^3}\) или \(8x^{-3} - 32\)