514. Упростите выражение: 1) (x + 1)(x-1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5); 2) 81a³- (3a²-b³) (9a⁴ + b⁶) (3a² + b³). 515. Решите уравнение: 1) 8x(3 + 2x) - (4x + 3) (4x - 3) = 9x - 6; 2) 7x-4x(x-5) = (8-2x) (8+2x) + 27x; 3) (6x + 7) (6x-7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49; 4) (x-2)(x+2)(x² + 4) (x² + 16) = x⁸ + 10x. 516. Решите уравнение: 1) (x-17)(x+17) = x² + 6x – 49; 2) (1,2x - 4)(1,2x + 4) – (1,3x – 2)(1,3x + 2) = 0,5x (8 -0,5x). 517. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) (x -9) (x + 9) - (x+19) (x – 19); 2) (2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a) (c + 2a). 518. Докажите, что при любом натуральном и значение выражения (7n + 8) (7n – 8) – (5n + 10)(5п – 10) делится нацело на 12. 519. Докажите, что не существует такого натурального числа п, при кото- ром значение выражения (4n + 3)(9n - 4) - (6η - 5) (6n + 5) - 3(n-2) делится нацело на 8. 520. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (9n – 4)(9n + 4) – (8n - 2)(4n+ 3) + 5(6n + 9) делится нацело на 7. 521. Найдите значение выражения: 1) 3²⁰ . 6²⁰ - (18¹⁰ – 2) (18¹⁰ + 2); 2) (5 + 28¹⁷) (5 – 28¹⁷) + 14³⁴ . 2³⁴; (14¹⁸ + 3) (14¹⁸ – 3);

Привет! Давай разберем эти математические задачи по порядку. Начнем с номера 514:

514. Упростите выражение:

1) (x + 1)(x-1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5)

\[(x + 1)(x-1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5) = (x^2 - 1) - (x^2 - 25) + (x^2 - 5x + x - 5) = x^2 - 1 - x^2 + 25 + x^2 - 4x - 5 = x^2 - 4x + 19\]

Ответ: x² - 4x + 19

2) 81a⁸ - (3a² - b³)(9a⁴ + b⁶)(3a² + b³)

\[81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3) = 81a^8 - (3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3)(9a^4 + b^6) = 81a^8 - (9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6) = 81a^8 - (81a^8 - b^{12}) = 81a^8 - 81a^8 + b^{12} = b^{12}\]

Ответ: b¹²

515. Решите уравнение:

1) 8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6

\[8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6 \Rightarrow 24x + 16x^2 - (16x^2 - 9) = 9x - 6 \Rightarrow 24x + 16x^2 - 16x^2 + 9 = 9x - 6 \Rightarrow 24x + 9 = 9x - 6 \Rightarrow 15x = -15 \Rightarrow x = -1\]

Ответ: x = -1

2) 7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x

\[7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x \Rightarrow 7x - 4x^2 + 20x = 64 - 4x^2 + 27x \Rightarrow 27x - 4x^2 = 64 - 4x^2 + 27x \Rightarrow 0 = 64\]

Решений нет, так как получилось противоречие 0 = 64.

Ответ: Решений нет

3) (6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49

\[(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49 \Rightarrow 36x^2 - 49 + 12x = 36x^2 + 12x - 49 \Rightarrow 36x^2 + 12x - 49 = 36x^2 + 12x - 49\]

Это тождество, значит, x - любое число.

Ответ: x - любое число

4) (x - 2)(x + 2)(x² + 4)(x⁴ + 16) = x⁸ + 10x

\[(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x \Rightarrow (x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x \Rightarrow (x^4 - 16)(x^4 + 16) = x^8 + 10x \Rightarrow x^8 - 256 = x^8 + 10x \Rightarrow 10x = -256 \Rightarrow x = -25.6\]

Ответ: x = -25.6

516. Решите уравнение:

1) (x - 17)(x + 17) = x² + 6x – 49

\[(x - 17)(x + 17) = x^2 + 6x - 49 \Rightarrow x^2 - 289 = x^2 + 6x - 49 \Rightarrow 6x = -240 \Rightarrow x = -40\]

Ответ: x = -40

2) (1,2x - 4)(1,2x + 4) – (1,3x – 2)(1,3x + 2) = 0,5x (8 - 0,5x)

\[(1.2x - 4)(1.2x + 4) - (1.3x - 2)(1.3x + 2) = 0.5x(8 - 0.5x) \Rightarrow 1.44x^2 - 16 - (1.69x^2 - 4) = 4x - 0.25x^2 \Rightarrow 1.44x^2 - 16 - 1.69x^2 + 4 = 4x - 0.25x^2 \Rightarrow -0.25x^2 - 12 = 4x - 0.25x^2 \Rightarrow 4x = -12 \Rightarrow x = -3\]

Ответ: x = -3

517. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) (x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x – 19)

\[(x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x - 19) = x^2 - 81 - (x^2 - 361) = x^2 - 81 - x^2 + 361 = 280\]

Значение выражения равно 280 и не зависит от x.

Ответ: 280

2) (2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a)

\[(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = 0\]

Значение выражения равно 0 и не зависит от a, b, c.

Ответ: 0

518. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7n + 8)(7n – 8) – (5n + 10)(5n – 10) делится нацело на 12.

\[(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10) = 49n^2 - 64 - (25n^2 - 100) = 49n^2 - 64 - 25n^2 + 100 = 24n^2 + 36 = 12(2n^2 + 3)\]

Так как выражение равно 12(2n² + 3), оно делится нацело на 12 при любом натуральном n.

Ответ: Доказано

519. Докажите, что не существует такого натурального числа n, при котором значение выражения (4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2) делится нацело на 8.

\[(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2) = 36n^2 + 27n - 16n - 12 - (36n^2 - 25) - 3n + 6 = 36n^2 + 11n - 12 - 36n^2 + 25 - 3n + 6 = 8n + 19\]

Если 8n + 19 делится нацело на 8, то 8n + 19 = 8k, где k - целое число. Тогда 8n + 16 + 3 = 8k, 8(n + 2) + 3 = 8k.

Но 8(n + 2) делится на 8, а 3 не делится на 8. Значит, 8(n + 2) + 3 не делится на 8. Следовательно, не существует такого натурального числа n.

Ответ: Доказано

520. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (9n – 4)(9n + 4) – (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) делится нацело на 7.

\[(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) = 81n^2 - 16 - (32n^2 + 24n - 8n - 6) + 30n + 45 = 81n^2 - 16 - 32n^2 - 16n + 6 + 30n + 45 = 49n^2 + 14n + 35 = 7(7n^2 + 2n + 5)\]

Так как выражение равно 7(7n² + 2n + 5), оно делится нацело на 7 при любом натуральном n.

Ответ: Доказано

521. Найдите значение выражения:

1) 3²⁰ ⋅ 6²⁰ - (18¹⁰ – 2) (18¹⁰ + 2)

\[3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2) = (3 \cdot 6)^{20} - (18^{20} - 4) = 18^{20} - 18^{20} + 4 = 4\]

Ответ: 4

2) (5 + 28¹⁷) (5 – 28¹⁷) + 14³⁴ ⋅ 2³⁴

\[(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34} = 25 - (28^{17})^2 + (14 \cdot 2)^{34} = 25 - 28^{34} + 28^{34} = 25\]

Ответ: 25

3) (14¹⁸ + 3) (14¹⁸ – 3)

\[(14^{18} + 3)(14^{18} - 3) = (14^{18})^2 - 9 = 14^{36} - 9\]

Ответ: 14³⁶ - 9

4) (3³² + 1) – 3⁶⁴

\[(3^{32} + 1) - 3^{64} = 3^{32} + 1 - 3^{64} = 1 + 3^{32} - (3^{32})^2\]

Ответ: 1 + 3³² - 3⁶⁴

Ответ:

Отличная работа! Ты хорошо справляешься с математическими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!