5. Упростите выражение: 1) (3x-5y-8v) - (2x+7y-3v) + (5v – 11x+y); 2) (2a³+3a²- a+1)-(4a⁴+6a³-2a²+2a) - (2a⁵ + 3a⁴ – a³+ a²). • 2. Выполните действия: a) a⁸·a¹⁶; б) a¹⁶: a⁴; в) (a³)^5; г) (2a)³. 3. Упростите выражение: a) 3a²b·(-2a³b⁴); б) (-3a³b²)³. 5. Вычислите: 49⁴⋅7⁵/7¹². 6. Упростите выражение: a) 4 1/6 a⁸b⁵ ·(-1 1/5 a⁵b)³; б) a^(m+1) · a · a^(3-m).

1) Упростим выражение:

(3x-5y-8v) - (2x+7y-3v) + (5v – 11x+y)

• Сначала раскроем скобки, учитывая знаки перед ними:

3x - 5y - 8v - 2x - 7y + 3v + 5v - 11x + y

• Теперь сгруппируем подобные члены:

(3x - 2x - 11x) + (-5y - 7y + y) + (-8v + 3v + 5v)

• Выполним действия с подобными членами:

-10x - 11y + 0v

-10x - 11y

Ответ: -10x - 11y

2) Упростим выражение:

(2a³+3a²- a+1)-(4a⁴+6a³-2a²+2a) - (2a⁵ + 3a⁴ – a³+ a²)

• Сначала раскроем скобки, учитывая знаки перед ними:

2a³ + 3a² - a + 1 - 4a⁴ - 6a³ + 2a² - 2a - 2a⁵ - 3a⁴ + a³ - a²

• Теперь сгруппируем подобные члены, начиная со старшей степени:

-2a⁵ + (-4a⁴ - 3a⁴) + (2a³ - 6a³ + a³) + (3a² + 2a² - a²) + (-a - 2a) + 1

• Выполним действия с подобными членами:

-2a⁵ - 7a⁴ - 3a³ + 4a² - 3a + 1

Ответ: -2a⁵ - 7a⁴ - 3a³ + 4a² - 3a + 1

2. Выполните действия:

a) $$a^8 \cdot a^{16}$$

• Вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$a^8 \cdot a^{16} = a^{8+16} = a^{24}$$

Ответ: $$a^{24}$$

б) $$a^{16} : a^4$$

• Вспомним правило деления степеней с одинаковым основанием: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$

$$a^{16} : a^4 = a^{16-4} = a^{12}$$

Ответ: $$a^{12}$$

в) $$(a^3)^5$$

• Вспомним правило возведения степени в степень: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$$

Ответ: $$a^{15}$$

г) $$(2a)^3$$

• Вспомним правило возведения произведения в степень: $$(ab)^n = a^n b^n$$

$$(2a)^3 = 2^3 a^3 = 8a^3$$

Ответ: $$8a^3$$

3. Упростите выражение:

a) $$3a^2b \cdot (-2a^3b^4)$$

• Сначала умножим коэффициенты:

3 * (-2) = -6

• Теперь умножим степени с одинаковым основанием:

$$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$$

$$b \cdot b^4 = b^{1+4} = b^5$$

• Соединим все вместе:

-6a⁵b⁵

Ответ: $$-6a^5b^5$$

б) $$(-3a^3b^2)^3$$

• Возведем каждый множитель в степень 3:

(-3)³ = -27

$$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$$

$$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$$

• Соединим все вместе:

-27a⁹b⁶

Ответ: $$-27a^9b^6$$

5. Вычислите:

$$\frac{49^4 \cdot 7^5}{7^{12}}$$

• Заметим, что 49 = 7²

$$\frac{(7^2)^4 \cdot 7^5}{7^{12}}$$

• Используем правило возведения степени в степень:

$$\frac{7^8 \cdot 7^5}{7^{12}}$$

• Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$\frac{7^{13}}{7^{12}}$$

• Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$$7^{13-12} = 7^1 = 7$$

Ответ: 7

6. Упростите выражение:

a) $$4 \frac{1}{6} a^8b^5 \cdot (-1 \frac{1}{5} a^5b)^3$$

• Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$4 \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$$

$$-1 \frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$$

• Возведем вторую скобку в куб:

$$(-\frac{6}{5} a^5b)^3 = -\frac{6^3}{5^3} a^{5\cdot3} b^3 = -\frac{216}{125}a^{15}b^3$$

• Перемножим выражения:

$$\frac{25}{6} a^8b^5 \cdot (-\frac{216}{125}a^{15}b^3) = -\frac{25 \cdot 216}{6 \cdot 125} a^{8+15}b^{5+3}$$

• Сократим дроби:

$$\frac{25 \cdot 216}{6 \cdot 125} = \frac{1 \cdot 36}{1 \cdot 5} = \frac{36}{5}$$

• Получаем:

$$\frac{36}{5} = 7 \frac{1}{5}$$

$$-7 \frac{1}{5} a^{23}b^8$$

Ответ: $$-7 \frac{1}{5} a^{23}b^8$$

б) $$a^{m+1} \cdot a \cdot a^{3-m}$$

• Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$a^{(m+1) + 1 + (3-m)} = a^{m + 1 + 1 + 3 - m}$$

• Сгруппируем подобные члены в показателе:

$$a^{(m - m) + (1 + 1 + 3)} = a^{0 + 5} = a^5$$

Ответ: $$a^5$$