1. Упростите выражение: a) 6√3+√27-3/75; 6) (√50-2√2)/2; в) (2-√3)2. 2. Сравните 12 и 2 3. Сократите дробь: 1 V45. V3-3 a-2√a a) ; б) V5-V15 3√a-6 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: 5 8 a) ; б) 3/10 √6+√2 5. Докажите, что значение выражения 1 1 27-1 27+1 есть число рациональное.

1. Упростите выражение:

a) Упростим выражение \(6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75}\). Сначала упростим корни: \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\) и \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\). Теперь подставим упрощенные корни в выражение: \(6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3(5\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (6 + 3 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}\).

б) Упростим выражение \((\sqrt{50} - 2\sqrt{2})\sqrt{2}\). Сначала упростим корень \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\). Теперь подставим упрощенный корень в выражение: \((5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = (3\sqrt{2})\sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6\).

в) Упростим выражение \((2 - \sqrt{3})^2\). Раскроем скобки, используя формулу \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \((2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}\).

Ответ: a) \(-6\sqrt{3}\); б) \(6\); в) \(7 - 4\sqrt{3}\)

2. Сравните \(\frac{1}{2}\sqrt{12}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{45}\).

Сначала упростим каждое выражение: \(\frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\). Теперь сравним \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\). Так как \(3 < 5\), то \(\sqrt{3} < \sqrt{5}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}\)

3. Сократите дробь:

a) Сократим дробь \(\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}\. Вынесем \(\sqrt{3}\) в числителе и \(\sqrt{5}\) в знаменателе за скобки: \(\frac{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\).

б) Сократим дробь \(\frac{a - 2\sqrt{a}}{3\sqrt{a} - 6}\). Вынесем \(\sqrt{a}\) в числителе и \(3\) в знаменателе за скобки: \(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{3(\sqrt{a} - 2)} = \frac{\sqrt{a}}{3}\).

Ответ: a) \(\frac{\sqrt{15}}{5}\); б) \(\frac{\sqrt{a}}{3}\)

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

a) Освободим дробь \(\frac{5}{3\sqrt{10}}\) от знака корня в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\): \(\frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6}\).

б) Освободим дробь \(\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\) от знака корня в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\): \(\frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})\).

Ответ: a) \(\frac{\sqrt{10}}{6}\); б) \(2(\sqrt{6} - \sqrt{2})\)

5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2\sqrt{7} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{7} + 1}\) есть число рациональное.

Упростим выражение: \(\frac{1}{2\sqrt{7} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{7} + 1} = \frac{(2\sqrt{7} + 1) - (2\sqrt{7} - 1)}{(2\sqrt{7} - 1)(2\sqrt{7} + 1)} = \frac{2}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27}\). Так как \(\frac{2}{27}\) является рациональным числом (представимо в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа), утверждение доказано.

Ответ: \(\frac{2}{27}\) - рациональное число