559 Упростите выражение: a) √√3; 3 B) Wa Wa; д) 10/815; 6) √√4;r) 2m 3m; e) 1/4 3/4.

Разбираемся:

Чтобы упростить данные выражения, нужно преобразовать корни, используя свойства степеней и корней.

а) \(\sqrt[3]{\sqrt{3}}\)

Представим корень как степень: \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\)Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3}\]

б) \(\sqrt{\sqrt[4]{4}}\)

Представим корень как степень: \(\sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}}\)Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\sqrt{4^{\frac{1}{4}}} = (4^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{8}} = (2^2)^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}\]

в) \(\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}}\)

Представим внутренний корень как степень: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\)Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\sqrt[3]{a \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{4}{3}}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{9}} = \sqrt[9]{a^4}\]

г) \(\sqrt[4]{m \sqrt[3]{m}}\)

Представим внутренний корень как степень: \(\sqrt[3]{m} = m^{\frac{1}{3}}\)Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\sqrt[4]{m \cdot m^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{m^{\frac{4}{3}}} = (m^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{4}} = m^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m}\]

д) \(\sqrt[10]{8^{15}}\)

Представим 8 как 2 в степени 3:

\[\sqrt[10]{(2^3)^{15}} = \sqrt[10]{2^{45}} = 2^{\frac{45}{10}} = 2^{\frac{9}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 16\sqrt{2}\]

e) \(\sqrt[4]{4 \sqrt[3]{4}}\)

Представим внутренний корень как степень: \(\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}\)Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\sqrt[4]{4 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{4^{\frac{4}{3}}} = (4^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4}\]