237. Упростите выражение: a) 1 / a(a - b)(a - c) + 1 / b(b - c)(b-a) + 1 / c(c-a)(c-b); б) x² / (x - y)(x - z) + y² / (y - x)(y-z) + z² / (z - x)(z - y).

a)

Преобразуем выражение: \[\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}\]

Заметим, что (b-a) = -(a-b) и (c-b) = -(b-c), (c-a) = -(a-c). Тогда выражение можно переписать так: \[\frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(b-c)(a-b)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)}\]

Приводим к общему знаменателю abc(a-b)(a-c)(b-c): \[\frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}\]

Раскрываем скобки в числителе: \[\frac{b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}\]

Группируем и упрощаем числитель: \[\frac{b^2c - a^2c - bc^2 + ac^2 + a^2b - ab^2}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{c(b^2 - a^2) - c^2(b-a) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}\]

\[\frac{c(b-a)(b+a) - c^2(b-a) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(b-a)[c(b+a) - c^2 - ab]}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}\]

\[\frac{(b-a)(bc + ac - c^2 - ab)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(b-a)[c(b-c) + a(c-b)]}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(b-a)[c(b-c) - a(b-c)]}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}\]

\[\frac{(b-a)(b-c)(c-a)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = -\frac{1}{abc}\]

Ответ: -1/abc

б)

Преобразуем выражение: \[\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}\]

Заметим, что (y-x) = -(x-y) и (z-y) = -(y-z), (z-x) = -(x-z). Тогда выражение можно переписать так: \[\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-z)} + \frac{z^2}{(x-z)(y-z)}\]

Приводим к общему знаменателю (x-y)(x-z)(y-z): \[\frac{x^2(y-z) - y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}\]

Раскрываем скобки в числителе: \[\frac{x^2y - x^2z - y^2x + y^2z + z^2x - z^2y}{(x-y)(x-z)(y-z)}\]

Группируем и упрощаем числитель: \[\frac{x^2y - y^2x - x^2z + z^2x + y^2z - z^2y}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \frac{xy(x - y) - z(x^2 - y^2) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}\]

\[\frac{xy(x - y) - z(x - y)(x+y) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \frac{(x-y)[xy - z(x+y) + z^2]}{(x-y)(x-z)(y-z)}\]

\[\frac{xy - zx - zy + z^2}{(x-z)(y-z)} = \frac{x(y - z) - z(y - z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(x-z)(y-z)}{(x-z)(y-z)} = 1\]

Ответ: 1