1. Упростите выражение: a) (a³)³: a¹⁰⋅a; 6) xy²-13xy² +5xy²; 2. Вычислите (3²)⁴⋅5⁸ 15⁶ Вариант № 2 B) (3x³y⁴)³: (3xy²)²; г) (z⁹)⁴ z(z⁵)⁷ 3. Сравните значения выражений (4/7)⁴ и (-2)°. 4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: Стороны прямоугольника относятся как 7:6, а его площадь равна 168см². Найдите стороны прямоугольника. 5. Решите уравнение (3x³)⁴ (3x³)² = 24. (9x⁶)⁴

Задание №1

Упростите выражение:

а) \[ (a^3)^3 : a^{10} \cdot a \]

При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении - вычитаются:

\[ (a^3)^3 : a^{10} \cdot a = a^{3 \cdot 3} : a^{10} \cdot a = a^9 : a^{10} \cdot a = a^{9-10+1} = a^0 = 1 \]

б) \( xy^2 - 13xy^2 + 5xy^2 \)

Приведем подобные слагаемые:

\[ xy^2 - 13xy^2 + 5xy^2 = xy^2(1 - 13 + 5) = xy^2(-7) = -7xy^2 \]

в) \( (3x^3y^4)^3 : (3xy^2)^2 \)

При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень:

\[ (3x^3y^4)^3 : (3xy^2)^2 = (3^3x^{3 \cdot 3}y^{4 \cdot 3}) : (3^2x^2y^{2 \cdot 2}) = (27x^9y^{12}) : (9x^2y^4) = \frac{27x^9y^{12}}{9x^2y^4} = 3x^{9-2}y^{12-4} = 3x^7y^8 \]

г) \( \frac{(z^9)^4}{z(z^5)^7} \)

\[ \frac{(z^9)^4}{z(z^5)^7} = \frac{z^{9 \cdot 4}}{z \cdot z^{5 \cdot 7}} = \frac{z^{36}}{z \cdot z^{35}} = \frac{z^{36}}{z^{1+35}} = \frac{z^{36}}{z^{36}} = 1 \]

Задание №2

Вычислите: \( \frac{(3^2)^4 \cdot 5^8}{15^6} \)

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

\[ \frac{(3^2)^4 \cdot 5^8}{15^6} = \frac{3^{2 \cdot 4} \cdot 5^8}{(3 \cdot 5)^6} = \frac{3^8 \cdot 5^8}{3^6 \cdot 5^6} = 3^{8-6} \cdot 5^{8-6} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225 \]

Задание №3

Сравните значения выражений \( (\frac{4}{7})^4 \) и \( (-2)^0 \).

Любое число в степени 0 равно 1:

\[ (-2)^0 = 1 \]

Дробь \( \frac{4}{7} \) меньше 1, поэтому \( (\frac{4}{7})^4 \) будет меньше 1, так как при возведении в степень правильной дроби, она становится только меньше:

\[ (\frac{4}{7})^4 < 1 \]

Следовательно, \( (\frac{4}{7})^4 < (-2)^0 \).

Задание №4

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

Стороны прямоугольника относятся как 7:6, а его площадь равна 168 см². Найдите стороны прямоугольника.

Этап 1: Математическая модель

Пусть одна часть равна x, тогда стороны прямоугольника будут 7x и 6x. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b \]

Подставим известные значения:

\[ 7x \cdot 6x = 168 \]

\[ 42x^2 = 168 \]

Этап 2: Решение математической модели

Решим полученное уравнение:

\[ x^2 = \frac{168}{42} \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[ x = 2 \]

Теперь найдем стороны прямоугольника:

\[ a = 7x = 7 \cdot 2 = 14 \]

\[ b = 6x = 6 \cdot 2 = 12 \]

Этап 3: Интерпретация результата

Стороны прямоугольника равны 14 см и 12 см.

Задание №5

Решите уравнение: \( \frac{(3x^3)^4 \cdot (3x^3)^2}{(9x^6)^4} = 24 \)

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\[ \frac{(3x^3)^4 \cdot (3x^3)^2}{(9x^6)^4} = \frac{3^4x^{3 \cdot 4} \cdot 3^2x^{3 \cdot 2}}{(3^2x^6)^4} = \frac{3^4x^{12} \cdot 3^2x^6}{3^{2 \cdot 4}x^{6 \cdot 4}} = \frac{3^{4+2}x^{12+6}}{3^8x^{24}} = \frac{3^6x^{18}}{3^8x^{24}} = 3^{6-8}x^{18-24} = 3^{-2}x^{-6} = \frac{1}{3^2x^6} = \frac{1}{9x^6} \]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{1}{9x^6} = 24 \]

\[ 9x^6 = \frac{1}{24} \]

\[ x^6 = \frac{1}{24 \cdot 9} = \frac{1}{216} \]

\[ x^6 = \frac{1}{6^3} \]

\[ x = \pm \sqrt[6]{\frac{1}{216}} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \]

\[ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} \]