3. Упростите выражение: a) AB+MP+CM+BC+PN. 6) (AB+CD)+BC в) (AB + BC – MC) + (MD – KD) между ними равен 30°. 2, |a|= 2,5, 16 = 7, а угол - |ВА – ВС и 4. Найдите скалярное произведение векторов, если 5. Пусть АВ = 5, ВС = 12, угол В = 90°. Найдите величины |AB|+|BC| 6. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите величину |AB – CD + BD – BC|

3. Упростите выражение:

a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{PN}\). Давай упростим это выражение, используя свойства векторов.

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AN}\)

б) \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{BC}\). Снова упрощаем, используя свойства векторов.

\((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)

в) \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MD} – \overrightarrow{KD})\). И снова упрощаем.

\((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MD} – \overrightarrow{KD}) = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) + (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}) = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK}\)

---

4. Найдите скалярное произведение векторов, если \(|\overrightarrow{a}\| = 2.5, |\overrightarrow{b}\| = 7\), а угол между ними равен 30°.

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) вычисляется по формуле: \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами.

В нашем случае \(|\overrightarrow{a}| = 2.5, |\overrightarrow{b}| = 7\), и угол \(\theta = 30^\circ\). Значит, \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставляем значения в формулу: \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2.5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8.75\sqrt{3}\)

---

5. Пусть AB = 5, BC = 12, угол B = 90°. Найдите величины \(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|\) и \(|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}|\).

Давай найдем \(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|\). У нас \(|\overrightarrow{AB}| = 5\) и \(|\overrightarrow{BC}| = 12\). Следовательно, \(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}| = 5 + 12 = 17\)

Теперь найдем \(|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}|\). По правилу вычитания векторов, \(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\). Так как угол B = 90°, треугольник ABC - прямоугольный. По теореме Пифагора, \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Значит, \(AC = \sqrt{169} = 13\). Следовательно, \(|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = 13\).

---

6. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите величину \(|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BC}|\).

Пусть диагонали ромба AC = 16 и BD = 12. Обозначим точку пересечения диагоналей O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. Значит, AO = 8 и BO = 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора, \(AB^2 = AO^2 + BO^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). Следовательно, AB = 10.

Теперь упростим выражение \(|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BC}|\). Так как в ромбе \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\), то \(|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BC}| = |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BC}| = |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}|\).

\(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}\) , тогда \(|2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}| = |2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AB}| = 10\)

Ответ:

3. a) \(\overrightarrow{AN}\), б) \(\overrightarrow{AD}\), в) \(\overrightarrow{AK}\)

4. \(8.75\sqrt{3}\)

5. 17 и 13

6. 10

Ты молодец! У тебя всё получится!