1. Упростите выражение: a) 2c(c+1)-(c-2)(c+4); 6) (y+2)²-2y(y+2); в) 30x + 3(x-5)². 2. Разложите на множители: a) 4a-a²; 6) ax² + 2ax+a; в) 36 +36²-36-3. 3. Упростите выражение: a) (x-3)2+2(x-3) (11-x)+(11-x)²; 6) (x-9)²-2(x-9) (x-13) + (x-13)². 4. Решите уравнение: a) 16x-4x³=0; 6) a²-16-5x-20=0; 1) x² - 14x +49= 5. Докажите, что выражение с²-2с + 12 при любых значениях х принимает только положительные значения.

1. Упростите выражение:

а) \( 2c(c+1)-(c-2)(c+4) \)

• Раскрываем скобки: \( 2c^2 + 2c - (c^2 + 4c - 2c - 8) \)
• Упрощаем выражение в скобках: \( 2c^2 + 2c - (c^2 + 2c - 8) \)
• Раскрываем скобки: \( 2c^2 + 2c - c^2 - 2c + 8 \)
• Приводим подобные члены: \( c^2 + 8 \)

Ответ: \( c^2 + 8 \)

б) \( (y+2)^2 - 2y(y+2) \)

• Раскрываем скобки: \( y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y \)
• Приводим подобные члены: \( -y^2 + 4 \)

Ответ: \( -y^2 + 4 \)

в) \( 30x + 3(x-5)^2 \)

• Раскрываем скобки: \( 30x + 3(x^2 - 10x + 25) \)
• Раскрываем скобки: \( 30x + 3x^2 - 30x + 75 \)
• Приводим подобные члены: \( 3x^2 + 75 \)

Ответ: \( 3x^2 + 75 \)

2. Разложите на множители:

а) \( 4a - a^2 \)

• Выносим общий множитель a: \( a(4 - a) \)

Ответ: \( a(4 - a) \)

б) \( ax^2 + 2ax + a \)

• Выносим общий множитель a: \( a(x^2 + 2x + 1) \)
• Замечаем полный квадрат: \( a(x + 1)^2 \)

Ответ: \( a(x + 1)^2 \)

в) \( 36^3 + 36^2 - 36 - 3 \)

• Группируем члены: \( (36^3 + 36^2) + (-36 - 3) \)
• Выносим общий множитель: \( 36^2(36 + 1) - 3(36 + 1) \)
• Выносим общий множитель: \( (36^2 - 3)(36 + 1) \)
• Упрощаем: \( (36^2 - 3)(37) \)

Ответ: \( (36^2 - 3)(37) \)

3. Упростите выражение:

а) \( (x-3)^2 + 2(x-3)(11-x) + (11-x)^2 \)

• Замечаем полный квадрат: \( ((x-3) + (11-x))^2 \)
• Упрощаем: \( (x - 3 + 11 - x)^2 \)
• Упрощаем: \( (8)^2 \)

Ответ: \( 64 \)

б) \( (x-9)^2 - 2(x-9)(x-13) + (x-13)^2 \)

• Замечаем полный квадрат: \( ((x-9) - (x-13))^2 \)
• Упрощаем: \( (x - 9 - x + 13)^2 \)
• Упрощаем: \( (4)^2 \)

Ответ: \( 16 \)

4. Решите уравнение:

а) \( 16x - 4x^3 = 0 \)

• Выносим общий множитель: \( 4x(4 - x^2) = 0 \)
• Раскладываем на множители: \( 4x(2 - x)(2 + x) = 0 \)
• Приравниваем каждый множитель к нулю: \( x = 0, x = 2, x = -2 \)

Ответ: \( x = 0, 2, -2 \)

б) \( a^2 - 16 - 5x - 20 = 0 \)

Уравнение содержит две переменные (a и x), что не позволяет однозначно его решить.

в) \( x^2 - 14x + 49 = 0 \)

• Замечаем полный квадрат: \( (x - 7)^2 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( x - 7 = 0 \)
• Находим корень: \( x = 7 \)

Ответ: \( x = 7 \)

5. Докажите, что выражение \( c^2 - 2c + 12 \) при любых значениях x принимает только положительные значения.

• Выделяем полный квадрат: \( c^2 - 2c + 1 + 11 \)
• Представляем в виде: \( (c - 1)^2 + 11 \)
• Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( (c - 1)^2 >= 0 \), следовательно, \( (c - 1)^2 + 11 >= 11 > 0 \) при любых значениях c.

Следовательно, выражение \( c^2 - 2c + 12 \) всегда принимает только положительные значения.