780 Упростите выражение: a) cos x/(1 - sin x) + cos x/(1 + sin x); б) cos α/(1 + sin α) + tg α; в) (tg² φ - 1)/(tg² φ + 1) + cos² φ; г) (sin³ α + cos³ α)/(sin α + cos α) + sin α cos α.

Решение:

a) \(\frac{\cos x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\cos x(1 + \sin x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{\cos x + \cos x \sin x + \cos x - \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\cos x}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos x}\)

б) \(\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha(1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}\)

в) \(\frac{\tan^2 \varphi - 1}{\tan^2 \varphi + 1} + \cos^2 \varphi = \frac{\frac{\sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi} - 1}{\frac{\sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi} + 1} + \cos^2 \varphi = \frac{\sin^2 \varphi - \cos^2 \varphi}{\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi} + \cos^2 \varphi = \sin^2 \varphi - \cos^2 \varphi + \cos^2 \varphi = \sin^2 \varphi\)

г) \(\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \sin \alpha \cos \alpha = \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Ответ: а) \(\frac{2}{\cos x}\); б) \(\frac{1}{\cos \alpha}\); в) \(\sin^2 \varphi\); г) 1

Ты молодец! У тебя всё получится!