923. Упростите выражение: a) (tg a+ctg a) (1 + cos a) (1 - cos a); б) (sin a + cos a)² -1. ctg a-sin a cos a B) sin a + sin² a cos² a + cos² a; 4 r) sin² a + sin² a cos² a + cos⁴ a. 924. Докажите, что равенство является тождеством: tg² a-sin² a a) ctg² a-cos² a tg² a; 2 tg β б) = sin² β; tg β+ctg β 925. Докажите тождество: a) cos y-sin² y = 1-2 sin² γ; 2 1-2 sin² a б) ctg a-tg a; sin a cos a 200

923. Упростите выражение:

а) (tg a+ctg a) (1 + cos a) (1 - cos a);

Используем формулу разности квадратов: (1 + cos a) (1 - cos a) = 1 - cos² a = sin² a

Заменим tg a = sin a / cos a и ctg a = cos a / sin a

Тогда (tg a + ctg a) = (sin a / cos a) + (cos a / sin a) = (sin² a + cos² a) / (sin a cos a) = 1 / (sin a cos a)

(tg a + ctg a) (1 + cos a) (1 - cos a) = (1 / (sin a cos a)) * sin² a = sin a / cos a = tg a

Ответ: tg a

б) (sin a + cos a)² -1 / (ctg a-sin a cos a)

(sin a + cos a)² - 1 = sin² a + 2sin a cos a + cos² a - 1 = 2sin a cos a, так как sin² a + cos² a = 1

ctg a - sin a cos a = (cos a / sin a) - sin a cos a = (cos a - sin² a cos a) / sin a = cos a (1 - sin² a) / sin a = cos³ a / sin a

(2sin a cos a) / (cos³ a / sin a) = (2sin a cos a * sin a) / cos³ a = (2sin² a) / cos² a = 2tg² a

Ответ: 2tg² a

в) sin⁴ a + sin² a cos² a + cos⁴ a;

Сгруппируем sin⁴ a + cos⁴ a + sin² a cos² a = (sin⁴ a + 2sin² a cos² a + cos⁴ a) - sin² a cos² a = (sin² a + cos² a)² - sin² a cos² a = 1 - sin² a cos² a

Ответ: 1 - sin² a cos² a

r) sin² a + sin² a cos² a + cos⁴ a.

sin² a + sin² a cos² a + cos⁴ a = sin² a (1 + cos² a) + cos⁴ a = sin² a + sin² a cos² a + cos⁴ a = sin² a + cos² a (sin² a + cos² a) = sin² a + cos² a = 1

Ответ: 1

924. Докажите, что равенство является тождеством:

а) (tg² a-sin² a) / (ctg² a-cos² a) = tg⁶ a;

(tg² a - sin² a) / (ctg² a - cos² a) = (sin² a / cos² a - sin² a) / (cos² a / sin² a - cos² a) = (sin² a (1 - cos² a) / cos² a) / (cos² a (1 - sin² a) / sin² a) = (sin⁴ a / cos² a) / (cos⁴ a / sin² a) = sin⁶ a / cos⁶ a = tg⁶ a

Ответ: tg⁶ a (тождество доказано)

б) tg β / (tg β+ctg β) = sin² β;

tg β / (tg β + ctg β) = (sin β / cos β) / (sin β / cos β + cos β / sin β) = (sin β / cos β) / ((sin² β + cos² β) / (sin β cos β)) = (sin β / cos β) / (1 / (sin β cos β)) = (sin β / cos β) * (sin β cos β) = sin² β

Ответ: sin² β (тождество доказано)

B) (tg β) / (1-tg² β) = (ctg β) / (ctg² β-1);

(tg β) / (1-tg² β) = (sin β / cos β) / (1 - sin² β / cos² β) = (sin β / cos β) / ((cos² β - sin² β) / cos² β) = (sin β cos β) / (cos² β - sin² β)

(ctg β) / (ctg² β - 1) = (cos β / sin β) / (cos² β / sin² β - 1) = (cos β / sin β) / ((cos² β - sin² β) / sin² β) = (cos β sin β) / (cos² β - sin² β)

Ответ: (tg β) / (1-tg² β) = (ctg β) / (ctg² β-1) (тождество доказано)

г) (sin² a-cos² a + cos⁴ a) / (cos² a-sin² a+sin⁴ a) = tg⁴ a.

(sin² a - cos² a + cos⁴ a) / (cos² a - sin² a + sin⁴ a) = (sin² a - cos² a (1 - cos² a)) / (cos² a - sin² a (1 - sin² a)) = (sin² a - cos² a sin² a) / (cos² a - sin² a cos² a) = (sin² a (1 - cos² a)) / (cos² a (1 - sin² a)) = (sin⁴ a) / (cos⁴ a) = tg⁴ a

Ответ: tg⁴ a (тождество доказано)

925. Докажите тождество:

a) cos⁴ γ-sin⁴ γ = 1-2 sin² γ;

cos⁴ γ - sin⁴ γ = (cos² γ - sin² γ) (cos² γ + sin² γ) = (cos² γ - sin² γ) * 1 = cos² γ - sin² γ = (1 - sin² γ) - sin² γ = 1 - 2sin² γ

Ответ: 1 - 2sin² γ (тождество доказано)

б) (1-2 sin² a) / (sin a cos a) = ctg a-tg a;

(1 - 2sin² a) / (sin a cos a) = (cos² a + sin² a - 2sin² a) / (sin a cos a) = (cos² a - sin² a) / (sin a cos a) = cos² a / (sin a cos a) - sin² a / (sin a cos a) = cos a / sin a - sin a / cos a = ctg a - tg a

Ответ: ctg a - tg a (тождество доказано)

г) (tg² γ +1) / (tg² γ -1) = 1 / (sin² γ - cos² γ).

(tg² γ + 1) / (tg² γ - 1) = (sin² γ / cos² γ + 1) / (sin² γ / cos² γ - 1) = ((sin² γ + cos² γ) / cos² γ) / ((sin² γ - cos² γ) / cos² γ) = (1 / cos² γ) / ((sin² γ - cos² γ) / cos² γ) = 1 / (sin² γ - cos² γ)

Ответ: 1 / (sin² γ - cos² γ) (тождество доказано)