845. Упростите выражение: a) (x + 3)³ - (x − 3)³; б) (а - 2b)³ + 6ab(a-2b).

Разбираемся:

Решение:

а) (x + 3)³ - (x − 3)³

• Вспоминаем формулу куба суммы и куба разности:
• \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
• \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
• Подставляем и раскрываем скобки:
• \((x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\)
• \((x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\)
• Вычитаем:
• \((x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27\)
• Приводим подобные:
• \(x^3 - x^3 + 9x^2 + 9x^2 + 27x - 27x + 27 + 27 = 18x^2 + 54\)

Ответ: \(18x^2 + 54\)

б) (а - 2b)³ + 6ab(a-2b)

• Раскрываем скобки в первом слагаемом, используя формулу куба разности:
• \((a - 2b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2b + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3\)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом:
• \(6ab(a - 2b) = 6a^2b - 12ab^2\)
• Складываем полученные выражения:
• \((a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3) + (6a^2b - 12ab^2) = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 + 6a^2b - 12ab^2\)
• Приводим подобные:
• \(a^3 - 6a^2b + 6a^2b + 12ab^2 - 12ab^2 - 8b^3 = a^3 - 8b^3\)

Ответ: \(a^3 - 8b^3\)