1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7) - 2x(3x-5); 6) 4a(a-2)-(a-4)²; в) 2(m + 1)²-4m. 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6)-502-10аб-562; в) 4а-4-а²³+². 3. Упростите выражение: a) (x-6)²+2(x-6) (9-x) + (9-x)²; 6) (x - 7)2-2(x - 7) (9+x)+(9+x)². 4. Решите уравнение: a) x³-16x = 0; 6) x²-4+x+2=0; B)²-6x+9=0 5. Докажите, что выражение х2-4х + 9 при любых значениях х принимает только положительные значения.

1. Упростите выражение:

а) (x-3)(x-7) - 2x(3x-5)

Шаг 1: Раскрываем скобки в первом произведении:

\[ (x-3)(x-7) = x^2 - 7x - 3x + 21 = x^2 - 10x + 21 \]

Шаг 2: Раскрываем скобки во втором выражении:

\[ -2x(3x-5) = -6x^2 + 10x \]

Шаг 3: Объединяем полученные выражения:

\[ x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x \]

Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:

\[ x^2 - 6x^2 - 10x + 10x + 21 = -5x^2 + 21 \]

Ответ: \( -5x^2 + 21 \)

б) 4a(a-2)-(a-4)²

Шаг 1: Раскрываем скобки в первом выражении:

\[ 4a(a-2) = 4a^2 - 8a \]

Шаг 2: Раскрываем скобки во втором выражении:

\[ (a-4)^2 = a^2 - 8a + 16 \]

Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное:

\[ 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) \]

Шаг 4: Упрощаем выражение:

\[ 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16 \]

Ответ: \( 3a^2 - 16 \)

в) 2(m + 1)² - 4m

Шаг 1: Раскрываем скобки в первом выражении:

\[ 2(m + 1)^2 = 2(m^2 + 2m + 1) = 2m^2 + 4m + 2 \]

Шаг 2: Подставляем полученное выражение в исходное:

\[ 2m^2 + 4m + 2 - 4m \]

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\[ 2m^2 + 4m - 4m + 2 = 2m^2 + 2 \]

Ответ: \( 2m^2 + 2 \)

2. Разложите на множители:

а) x³-9x

Шаг 1: Выносим общий множитель x за скобки:

\[ x(x^2 - 9) \]

Шаг 2: Разлагаем разность квадратов:

\[ x(x - 3)(x + 3) \]

Ответ: \( x(x - 3)(x + 3) \)

б) 5a²-10ab-5b²

Шаг 1: Выносим общий множитель 5 за скобки:

\[ 5(a^2 - 2ab - b^2) \]

Шаг 2: Преобразуем выражение в скобках, чтобы получить полный квадрат:

\[ 5(a^2 - 2ab + b^2 - 2b^2) = 5((a - b)^2 - 2b^2) \]

Шаг 3: Раскладываем разность квадратов:

\[ 5(a - b - \sqrt{2}b)(a - b + \sqrt{2}b) \]

Ответ: \( 5(a - b - \sqrt{2}b)(a - b + \sqrt{2}b) \)

в) 4a-4-a³+a²

Шаг 1: Группируем члены:

\[ (4a - 4) + (a^2 - a^3) \]

Шаг 2: Выносим общие множители из каждой группы:

\[ 4(a - 1) + a^2(1 - a) \]

Шаг 3: Замечаем, что (a - 1) и (1 - a) отличаются знаком, поэтому выносим -a² из второй группы:

\[ 4(a - 1) - a^2(a - 1) \]

Шаг 4: Выносим (a - 1) за скобки:

\[ (a - 1)(4 - a^2) \]

Шаг 5: Раскладываем разность квадратов:

\[ (a - 1)(2 - a)(2 + a) \]

Ответ: \( (a - 1)(2 - a)(2 + a) \)

3. Упростите выражение:

а) (x-6)²+2(x-6) (9-x) + (9-x)²

Шаг 1: Заметим, что это полный квадрат суммы:

\[ (x - 6)^2 + 2(x - 6)(9 - x) + (9 - x)^2 = ((x - 6) + (9 - x))^2 \]

Шаг 2: Упрощаем выражение в скобках:

\[ (x - 6 + 9 - x)^2 = (3)^2 \]

Шаг 3: Вычисляем квадрат числа:

\[ 3^2 = 9 \]

Ответ: \( 9 \)

б) (x - 7)² - 2(x - 7) (9+x)+(9+x)²

Шаг 1: Заметим, что это полный квадрат разности:

\[ (x - 7)^2 - 2(x - 7)(9 + x) + (9 + x)^2 = ((x - 7) - (9 + x))^2 \]

Шаг 2: Упрощаем выражение в скобках:

\[ (x - 7 - 9 - x)^2 = (-16)^2 \]

Шаг 3: Вычисляем квадрат числа:

\[ (-16)^2 = 256 \]

Ответ: \( 256 \)

4. Решите уравнение:

а) x³-16x = 0

Шаг 1: Выносим x за скобки:

\[ x(x^2 - 16) = 0 \]

Шаг 2: Разлагаем разность квадратов:

\[ x(x - 4)(x + 4) = 0 \]

Шаг 3: Решаем уравнение:

\[ x = 0, x = 4, x = -4 \]

Ответ: \( x = 0, 4, -4 \)

б) x²-4+x+2=0

Шаг 1: Упрощаем уравнение:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Шаг 3: Находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

Ответ: \( x = 1, -2 \)

в) x²-6x+9=0

Шаг 1: Заметим, что это полный квадрат разности:

\[ (x - 3)^2 = 0 \]

Шаг 2: Решаем уравнение:

\[ x - 3 = 0 \]

\[ x = 3 \]

Ответ: \( x = 3 \)

5. Докажите, что выражение х²-4х + 9 при любых значениях х принимает только положительные значения.

Шаг 1: Выделяем полный квадрат:

\[ x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5 \]

Шаг 2: Анализируем полученное выражение:

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (x - 2)^2 \geq 0 \) при любом x.

Поэтому \( (x - 2)^2 + 5 \geq 5 \) при любом x.

Вывод: Выражение \( x^2 - 4x + 9 \) принимает только положительные значения при любых значениях x, так как оно всегда больше или равно 5.