2. Упростите выражение: 1/2 a 1/2 1/2 a +b 1/2 --- 1/2 1/2 a 1/2 1/2 a -b + b 1/2 1/2 a -a b 1/2

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия с дробями.

Пусть $$x = a^{\frac{1}{2}}$$, $$y = b^{\frac{1}{2}}$$. Тогда выражение примет вид:

$$ \frac{x}{x+y} - \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x-xy} $$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{x(x-y) - x(x+y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y}{x(1-y)} $$ $$ \frac{x^2 - xy - x^2 - xy}{x^2 - y^2} + \frac{y}{x(1-y)} $$ $$ \frac{-2xy}{x^2 - y^2} + \frac{y}{x(1-y)} $$

Вернемся к исходным переменным:

$$ x = a^{\frac{1}{2}}, y = b^{\frac{1}{2}} $$ $$ \frac{-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}}(a-b)}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$ $$ \frac{-2ab^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}}(a-b)}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$ $$ \frac{-2ab^{\frac{1}{2}} + 2ab + ab^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$ $$ \frac{-ab^{\frac{1}{2}} + 2ab - b^{\frac{3}{2}}}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$

Дальнейшее упрощение возможно, если вынести общие множители, но без дополнительных условий это выражение и так достаточно упрощено.

Выражение можно переписать как:

$$ \frac{b^{\frac{1}{2}}(-a + 2ab^{\frac{1}{2}} - b)}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$

Ответ: $$ \frac{-ab^{\frac{1}{2}} + 2ab - b^{\frac{3}{2}}}{(a-b)a^{\frac{1}{2}}(1-b^{\frac{1}{2}})} $$