2.20. Упростите выражение (a+b) (a²+b²) (a⁴+b⁴) (a⁸+b⁸) (a¹⁶+b¹⁶) (a³²+b³²) при условии, что а=b+1.

Решение

Давай упростим выражение \[(a+b) (a^2+b^2) (a^4+b^4) (a^8+b^8) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})\] используя формулу разности квадратов \[(x-y)(x+y) = x^2 - y^2\]

Домножим и разделим выражение на (a-b): \[\frac{(a-b)(a+b) (a^2+b^2) (a^4+b^4) (a^8+b^8) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\]

Применим формулу разности квадратов: \[\frac{(a^2-b^2) (a^2+b^2) (a^4+b^4) (a^8+b^8) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\] \[\frac{(a^4-b^4) (a^4+b^4) (a^8+b^8) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\] \[\frac{(a^8-b^8) (a^8+b^8) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\] \[\frac{(a^{16}-b^{16}) (a^{16}+b^{16}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\] \[\frac{(a^{32}-b^{32}) (a^{32}+b^{32})}{a-b}\] \[\frac{a^{64}-b^{64}}{a-b}\]

Теперь учтем условие a = b + 1, значит a - b = 1: \[\frac{a^{64}-b^{64}}{1} = a^{64} - b^{64}\] \[(b+1)^{64} - b^{64}\]

Ответ: (b+1)⁶⁴ - b⁶⁴

Прекрасно! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!