Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика2.11. Упростите выражение: (a+b+c)²+(a+b-c)²+(a-b+c)²+(b+c-a)². 2.12. Известно, что а+в+с=12 и ab+bc+ca=-15. Найдите a²+b²+c². 2.13. Известно, что а-b+c=8 и a²+b²+c²=110. Найдите ac-ab-bc. 2.14. a) a (a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)-4c²; 6) 1-a(a-b+c)+b(a-b+c)+c(b-a-c). 2.15. a) xy(x+y)+yz (y-2)-xz (x+z); 6) a (b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²). 2.16. x (y+z)² +y (x+2)²+z(x+y)²-4xyz. 2.17. (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc. 3 2.18. x³+y+z³-(x+y+z)³. 2.19. Докажите, что а³+b³+c³=Завс, если а+b+c=0. 2.20. Упростите выражение (a+b) (a²+b²) (a⁴+b⁴) (a³+b³) (a16+616) (a32+632) при условии, что а=b+1. 2.21. Найдите наименьшее значение выражения (2a-1) (2a+1)+36 (3b-4a). 2.22. Найдите наибольшее значение выражения
Ответ:
2.11. Упростите выражение: (a+b+c)²+(a+b-c)²+(a-b+c)²+(b+c-a)²
Давай разберем это выражение по частям. Внимательно раскроем скобки и упростим:
\[ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \] \[ (a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc \] \[ (a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc \] \[ (b+c-a)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc \]Сложим эти выражения:
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + \\ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc + \\ a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc + \\ a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc = \\ 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 \]Ответ: 4a²+4b²+4c²
2.12. Известно, что а+в+с=12 и ab+bc+ca=-15. Найдите a²+b²+c²
Вспомним формулу квадрата суммы:
\[ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \]Мы знаем, что \( a+b+c = 12 \) и \( ab+bc+ca = -15 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ 12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(-15) \] \[ 144 = a^2 + b^2 + c^2 - 30 \]Теперь найдем \( a^2 + b^2 + c^2 \):
\[ a^2 + b^2 + c^2 = 144 + 30 = 174 \]Ответ: 174
2.13. Известно, что а-b+c=8 и a²+b²+c²=110. Найдите ac-ab-bc.
Давай начнем с квадрата разности:
\[ (a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac \]Мы знаем, что \( a-b+c = 8 \) и \( a^2 + b^2 + c^2 = 110 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ 8^2 = 110 - 2(ab + bc - ac) \] \[ 64 = 110 - 2(ab + bc - ac) \]Теперь найдем \( ac - ab - bc \):
\[ 2(ab + bc - ac) = 110 - 64 \] \[ 2(ab + bc - ac) = 46 \] \[ ab + bc - ac = 23 \]Умножим обе части на -1:
\[ ac - ab - bc = -23 \]Ответ: -23
2.14. a) a (a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)-4c²
Раскроем скобки:
\[ a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 - 4c^2 \]Приведем подобные члены:
\[ a^2 + b^2 - 3c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = a^2 + b^2 - 3c^2 + 2(ab + ac + bc) \]Ответ: a²+b²-3c²+2(ab+ac+bc)
2.14. б) 1-a(a-b+c)+b(a-b+c)+c(b-a-c)
Раскроем скобки:
\[ 1 - a^2 + ab - ac + ba - b^2 + bc + cb - ca - c^2 \]Приведем подобные члены:
\[ 1 - a^2 - b^2 - c^2 + 2ab - 2ac + 2bc = 1 - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc) \] \[ 1 - (a - b + c)^2 \]Ответ: 1-(a-b+c)²
2.15. a) xy(x+y)+yz (y-z)-xz (x+z)
Раскроем скобки:
\[ x^2y + xy^2 + y^2z - yz^2 - x^2z - xz^2 \]Сгруппируем члены:
\[ x^2y - x^2z + xy^2 - xz^2 + y^2z - yz^2 \] \[ x^2(y - z) + x(y^2 - z^2) + yz(y - z) \] \[ x^2(y - z) + x(y - z)(y + z) + yz(y - z) \] \[ (y - z)(x^2 + x(y + z) + yz) \] \[ (y - z)(x^2 + xy + xz + yz) \] \[ (y - z)(x(x + y) + z(x + y)) \] \[ (y - z)(x + y)(x + z) \]Ответ: (y-z)(x+y)(x+z)
2.15. б) a (b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
Раскроем скобки:
\[ ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 \]Сгруппируем члены:
\[ ab^2 - ba^2 - ac^2 + ca^2 + bc^2 - cb^2 \] \[ ab(b - a) - ac(c - a) + bc(c - b) \] \[ ab(b - a) + ac(a - c) + bc(c - b) \]Представим в виде:
\[ -ab(a - b) + ac(a - c) - bc(b - c) \] \[ -ab(a - b) + a^2c - ac^2 - b^2c + bc^2 \] \[ -ab(a - b) + a^2c - b^2c - ac^2 + bc^2 \] \[ -ab(a - b) + c(a^2 - b^2) - c^2(a - b) \] \[ -ab(a - b) + c(a - b)(a + b) - c^2(a - b) \] \[ (a - b)(-ab + c(a + b) - c^2) \] \[ (a - b)(-ab + ac + bc - c^2) \] \[ (a - b)(a(c - b) - c(c - b)) \] \[ (a - b)(a - c)(c - b) \] \[ -(a - b)(a - c)(b - c) \]Ответ: -(a-b)(a-c)(b-c)
2.16. x (y+z)² +y (x+2)²+z(x+y)²-4xyz
Раскроем скобки:
\[ x(y^2 + 2yz + z^2) + y(x^2 + 2xz + z^2) + z(x^2 + 2xy + y^2) - 4xyz \] \[ xy^2 + 2xyz + xz^2 + yx^2 + 2xyz + yz^2 + zx^2 + 2xyz + zy^2 - 4xyz \] \[ xy^2 + xz^2 + yx^2 + yz^2 + zx^2 + zy^2 + 2xyz \]Сгруппируем члены:
\[ xy^2 + yx^2 + xz^2 + zx^2 + yz^2 + zy^2 + 2xyz \]Представим в виде:
\[ xy(y + x) + xz(z + x) + yz(z + y) + 2xyz \] \[ xy(y + x) + xz(z + x) + yz(z + y) + xyz + xyz \] \[ xy(y + x) + xz(z + x) + yz(z + y) + xyz + xyz \]Прибавим и отнимем \( x^3 + y^3 + z^3 \):
\[ (x + y + z)(xy + xz + yz) - 3xyz + 2xyz = (x + y + z)(xy + xz + yz) - xyz \] \[ xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) + 2xyz \] \[ xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) + xyz + xyz \] \[ (x+y)(xy+yz) + xz(x+z) + xyz \] \[ (x+y)(x+z)(y+z) \]Ответ: (x+y)(x+z)(y+z)
2.17. (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc
Раскроем скобки:
\[ ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) - abc \] \[ a^2b + ab^2 + abc + a^2c + abc + ac^2 + abc + b^2c + bc^2 - abc \] \[ a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc \]Сгруппируем члены:
\[ a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc \] \[ a^2(b + c) + a(b^2 + c^2) + bc(b + c) + 2abc \] \[ a^2(b + c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b + c) - 2abc + 2abc \] \[ a^2(b + c) + a(b + c)^2 + bc(b + c) \] \[ (b + c)(a^2 + a(b + c) + bc) \] \[ (b + c)(a^2 + ab + ac + bc) \] \[ (b + c)[a(a + b) + c(a + b)] \] \[ (b + c)(a + c)(a + b) \] \[ (a + b)(b + c)(a + c) \]Ответ: (a+b)(b+c)(a+c)
2.18. x³+y+z³-(x+y+z)³
Раскроем скобки:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - (x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz) \] \[ x^3 + y^3 + z^3 - x^3 - y^3 - z^3 - 3x^2y - 3xy^2 - 3x^2z - 3xz^2 - 3y^2z - 3yz^2 - 6xyz \] \[ -3x^2y - 3xy^2 - 3x^2z - 3xz^2 - 3y^2z - 3yz^2 - 6xyz \]Сгруппируем члены:
\[ -3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz) \]Представим в виде:
\[ -3((x + y)(x + z)(y + z)) \]Ответ: -3(x+y)(x+z)(y+z)
2.19. Докажите, что а³+b³+c³=3abc, если а+b+c=0.
У нас есть условие: \( a + b + c = 0 \). Выразим \( c \) через \( a \) и \( b \):
\[ c = -a - b \]Теперь подставим это выражение в \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \):
\[ a^3 + b^3 + (-a - b)^3 = 3ab(-a - b) \]Раскроем скобки:
\[ a^3 + b^3 - (a + b)^3 = -3ab(a + b) \] \[ a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -3a^2b - 3ab^2 \] \[ a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 = -3a^2b - 3ab^2 \] \[ -3a^2b - 3ab^2 = -3a^2b - 3ab^2 \]Левая и правая части равны, значит, утверждение верно.
Ответ: Утверждение доказано.
2.20. Упростите выражение (a+b) (a²+b²) (a⁴+b⁴) (a³+b³) (a16+b16) (a32+b32) при условии, что а=b+1.
Давай упростим это выражение. Умножим \( (a+b)(a^2+b^2) \):
\[ (a+b)(a^2+b^2) = a^3 + ab^2 + a^2b + b^3 \]Теперь умножим \( (a^3 + ab^2 + a^2b + b^3)(a^4 + b^4) \):
\[ (a^3 + ab^2 + a^2b + b^3)(a^4 + b^4) = a^7 + a^5b^2 + a^6b + a^3b^4 + a^4b^3 + ab^6 + a^2b^5 + b^7 \]Продолжая эту логику, мы получим следующую закономерность:
\[ (a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}+b^{16})(a^{32}+b^{32}) = \frac{a^{64} - b^{64}}{a-b} \]Учитывая, что \( a = b + 1 \), то \( a - b = 1 \), следовательно, выражение упрощается до:
\[ a^{64} - b^{64} \]Ответ: a⁶⁴-b⁶⁴
2.21. Найдите наименьшее значение выражения (2a-1) (2a+1)+3b (3b-4a).
Упростим выражение:
\[ (2a-1)(2a+1) + 3b(3b-4a) = 4a^2 - 1 + 9b^2 - 12ab \]Перепишем:
\[ 4a^2 - 12ab + 9b^2 - 1 = (2a - 3b)^2 - 1 \]Наименьшее значение квадрата равно 0, поэтому наименьшее значение выражения:
\[ 0 - 1 = -1 \]Ответ: -1
2.22. Найдите наибольшее значение выражения
К сожалению, это выражение не приведено. Если ты предоставишь выражение, я с удовольствием помогу тебе найти его наибольшее значение!
Ответ: Невозможно найти, так как не предоставлено выражение.
Ты проделал большую работу! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
