2. Упростите выражение: 112 pq²+p2q 12 + bd-d p-pq q-p²² 112 b-d

Для упрощения выражения необходимо выполнить действия с алгебраическими дробями.

Исходное выражение:

$$ \left| \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} \right| \cdot \frac{p - q}{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q} $$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{q^{\frac{1}{2}}(q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}) + p^{\frac{1}{2}}(p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})}{(p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})(q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{q^{\frac{3}{2}} - p^{\frac{1}{2}}q + p^{\frac{3}{2}} - pq^{\frac{1}{2}}}{(p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})(q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})} $$

Вынесем общий множитель в знаменателе:

$$ (p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}})(q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}) = p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}) = -p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})^2 $$

Преобразуем числитель:

$$ q^{\frac{3}{2}} - p^{\frac{1}{2}}q + p^{\frac{3}{2}} - pq^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q - p) + p^{\frac{1}{2}}(p - q) = q^{\frac{1}{2}}(q - p) - p^{\frac{1}{2}}(q - p) = (q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}})(q - p) $$

Тогда выражение в скобках примет вид:

$$ \frac{(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}})(q - p)}{-p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{-(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(q - p)}{-p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{(q - p)}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $$

Упростим вторую дробь:

$$ \frac{p - q}{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q} = \frac{p - q}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} $$

Перемножим дроби:

$$ \frac{(q - p)}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{p - q}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{-(p - q)^2}{p q (p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{-(p - q)^2}{pq (p - q)} = -\frac{p - q}{pq} = \frac{q - p}{pq} $$

Окончательное выражение:

$$ \left| \frac{q - p}{pq} \right| $$

Ответ: $$\frac{|q-p|}{pq}$$