Упростите выражения: а) $\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б) $\left(\dfrac{x-2y}{x^2+2xy}-\dfrac{1}{x^2-4y^2}:\dfrac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\dfrac{x+2y}{4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражения: а) $\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим знаменатели на множители: $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

\[\frac{4xy}{(y-x)(x+y)}:\left(\frac{1}{(y-x)(x+y)}+\frac{1}{(x+y)^2}\right)\]

Сложим дроби в скобках:

\[\frac{1}{(y-x)(x+y)}+\frac{1}{(x+y)^2}=\frac{(x+y)+(y-x)}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}.\]

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

\[\frac{4xy}{(y-x)(x+y)}\cdot\frac{(y-x)(x+y)^2}{2y}=2x(x+y).\]

Ответ: $2x(x+y)$, где $y\ne0$, $y\ne x$, $y\ne -x$.

б)

Разложим знаменатели: $x^2+2xy=x(x+2y)$, $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$, $(2y-x)^2=(x-2y)^2$.

Сначала выполним деление дробей:

\[\frac{1}{(x-2y)(x+2y)}:\frac{x+2y}{(x-2y)^2}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}.\]

Подставим и вычтем дроби:

\[\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{(x-2y)((x+2y)-x)}{x(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}.\]

Умножим на последнюю дробь и сократим:

\[\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\frac{x+2y}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy(x+2y)}.\]

Ответ: $\dfrac{x-2y}{2xy(x+2y)}$, где $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne2y$, $x\ne-2y$.

Упростите выражения: а) \(\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\); б) \(\left(\dfrac{x-2y}{x^2+2xy}-\dfrac{1}{x^2-4y^2}:\dfrac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\dfrac{x+2y}{4y^2}\).