Упростите выражения: а) \(x-\frac{x}{x+1}\); б) \(\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}\); в) \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}\); г) \(\frac{3x+y}{x^2+xy}-\frac{x+3y}{y^2+xy}\).

а) Приводим к общему знаменателю:

\(x-\frac{x}{x+1}=\frac{x(x+1)-x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}\), где \(x\ne-1\).

б) Общий знаменатель равен \(4m(m+4)\):

\(\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}=\frac{(m+2)(m+4)-4m}{4m(m+4)}=\frac{m^2+2m+8}{4m(m+4)}\), где \(m\ne0,-4\).

в) Общий знаменатель: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\):

\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}=\frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\), где \(x\ne-y\) и \(x\ne y\).

г) Разложим знаменатели на множители: \(x^2+xy=x(x+y)\), \(y^2+xy=y(x+y)\).

\(\frac{3x+y}{x(x+y)}-\frac{x+3y}{y(x+y)}=\frac{y(3x+y)-x(x+3y)}{xy(x+y)}=\frac{y^2-x^2}{xy(x+y)}=\frac{(y-x)(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{y-x}{xy}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x+y\ne0\).