Упростите выражения a) \(\frac{1}{2}\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \sqrt{75}\) б) \(3\sqrt{2} (5\sqrt{2} - \sqrt{32})\) в) \((4 - 5\sqrt{2})^2\) г) \((\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) (\sqrt{7} + 2\sqrt{3})\)

Решение:

а)

1. Упростим каждый член выражения, вынося полные квадраты из-под корня:


• \(\frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\)
• \(2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)


2. Подставим упрощённые члены обратно в выражение:

\( \sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \)

3. Сложим и вычтем коэффициенты при \(\sqrt{3}\):

\( (1 - 6 + 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0 \)

б)

1. Раскроем скобки, умножая каждый член в скобках на \(3\sqrt{2}\):

\( 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} \)

2. Выполним умножение:


• \(3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 15 \cdot (\sqrt{2})^2 = 15 \cdot 2 = 30\)
• Упростим \(\sqrt{32}\): \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)
• \(3\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 12 \cdot (\sqrt{2})^2 = 12 \cdot 2 = 24\)


3. Вычтем полученные значения:

\( 30 - 24 = 6 \)

в)

1. Возведём двучлен в квадрат по формуле \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

\( (4 - 5\sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})^2 \)

2. Вычислим каждый член:


• \(4^2 = 16\)
• \(2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} = 40\sqrt{2}\)
• \((5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\)


3. Подставим вычисленные значения обратно:

\( 16 - 40\sqrt{2} + 50 \)

4. Сложим числовые значения:

\( 66 - 40\sqrt{2} \)

г)

1. Заметим, что выражение имеет вид разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)


2. Применим формулу, где \(a = \sqrt{7}\) и \(b = 2\sqrt{3}\):

\( (\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2 \)

3. Вычислим квадраты:


• \((\sqrt{7})^2 = 7\)
• \((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\)


4. Вычтем полученные значения:

\( 7 - 12 = -5 \)

Ответ: а) 0; б) 6; в) 66 - 40\(\sqrt{2}\); г) -5.