Упростив выражение $$ \bigg({\bf b}+\frac{18}{{\bf b}+\bf3}\bigg):\frac{{\bf b}^{2}+9}{{\bf b}^{2}+6{\bf b}+9}\cdot\frac{1}{{\bf b)-{\bf3}} $$ найдите его значение при $$ {\bf b}=-{\frac{1}{3}} $$

Решение:

Сначала упростим выражение.

1. Приведём к общему знаменателю первую дробь:
   \( \frac{{\bf b}+3 \cdot \bf3}{{\bf b}+3} = \frac{{\bf b}+9}{{\bf b}+3} \)
2. Вторую дробь в выражении можно преобразовать:
   \( \frac{{\bf b}^{2}+9}{{\bf b}^{2}+6{\bf b}+9} = \frac{{\bf b}^{2}+9}{({\bf b}+3)^2} \)
3. Теперь подставим преобразованные дроби в исходное выражение:
   \( \frac{{\bf b}+9}{{\bf b}+3} : \frac{{\bf b}^{2}+9}{({\bf b}+3)^2} \cdot \frac{1}{{\bf b}-3} \)
4. Деление заменим умножением на обратную дробь:
   \( \frac{{\bf b}+9}{{\bf b}+3} \cdot \frac{({\bf b}+3)^2}{{\bf b}^{2}+9} \cdot \frac{1}{{\bf b}-3} \)
5. Сократим \( ({\bf b}+3) \) и \( {\bf b}^{2}+9 \), получим:
   \( \frac{{\bf b}+9}{{\bf b}^{2}+9} \cdot \frac{{\bf b}+3}{{\bf b}-3} \)
6. Умножим оставшиеся дроби:
   \( \frac{({\bf b}+9)({\bf b}+3)}{({\bf b}^{2}+9)({\bf b}-3)} \)
7. Раскроем скобки в знаменателе: \( ({\bf b}^{2}+9)({\bf b}-3) = {\bf b}^{3} - 3{\bf b}^{2} + 9{\bf b} - 27 \)
8. Упрощённое выражение:
   \( \frac{{\bf b}^2 + 3{\bf b} + 9{\bf b} + 27}{{\bf b}^{3} - 3{\bf b}^{2} + 9{\bf b} - 27} = \frac{{\bf b}^2 + 12{\bf b} + 27}{{\bf b}^{3} - 3{\bf b}^{2} + 9{\bf b} - 27} \)
9. Подставим значение \( {\bf b} = -{\frac{1}{3}} \) в упрощённое выражение.
   \( {\bf b}^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \)
   \( 12{\bf b} = 12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -4 \)
   \( {\bf b}^3 = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27} \)
10. Числитель:
    \( \frac{1}{9} - 4 + 27 = \frac{1}{9} + 23 = \frac{1 + 207}{9} = \frac{208}{9} \)
11. Знаменатель:
    \( -\frac{1}{27} - 3\left(\frac{1}{9}\right) + 9\left(-\frac{1}{3}\right) - 27 \)
    \( = -\frac{1}{27} - \frac{3}{9} - 3 - 27 \)
    \( = -\frac{1}{27} - \frac{1}{3} - 30 \)
    \( = \frac{-1 - 9 - 810}{27} = \frac{-820}{27} \)
12. Разделим числитель на знаменатель:
    \( \frac{208}{9} : \frac{-820}{27} = \frac{208}{9} \cdot \frac{27}{-820} = \frac{208 \cdot 3}{-820} = \frac{624}{-820} \)
13. Сократим дробь:
    \( \frac{624}{-820} = \frac{312}{-410} = \frac{156}{-205} \)

Ответ: -156/205.