Уравнение \(12x+5=y^2\) не имеет решений в целых числах, что можно доказать, рассмотрев остатки при делении на \(N\). Чему может быть равно \(N\)? Варианты: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.

Рассмотрим уравнение по модулю 3. Так как \(12x\equiv 0\pmod{3}\), получаем \(y^2\equiv 5\equiv 2\pmod{3}\). Но квадрат целого числа по модулю 3 может иметь только остатки \(0\) или \(1\), поэтому остаток \(2\) невозможен.

Ответ: 3.