Уравнение 12x + 5 = y² не имеет решений в целых числах, что можно доказать, рассмотрев остатки при делении на N. Чему может быть равно N? Варианты: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.

Рассмотрим уравнение по модулю 3. Так как \(12x\) делится на 3, то левая часть имеет остаток \(5\equiv 2\pmod 3\). Квадрат целого числа по модулю 3 может иметь только остаток \(0\) или \(1\), поэтому остаток \(2\) невозможен.

Следовательно, доказательство выполняется при \(N=3\).

Ответ: 3.