Уравнение: \(\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0\)

Решение:

Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \). Чтобы решить его, найдем дискриминант.

1. Определим коэффициенты:\( a = \frac{1}{3}, \quad b = -\frac{1}{2}, \quad c = -1 \)
2. Найдем дискриминант по формуле: \( D = b^2 - 4ac \)
\[ D = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-1) \]\[ D = \frac{1}{4} + \frac{4}{3} \]\[ D = \frac{3}{12} + \frac{16}{12} = \frac{19}{12} \]
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\[ x_1 = \frac{-\left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{\frac{19}{12}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \]\[ x_1 = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{57}}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{3 + \sqrt{57}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{57}}{4} \]\[ x_2 = \frac{-\left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{\frac{19}{12}}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \]\[ x_2 = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{57}}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{57}}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{3 - \sqrt{57}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{4}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \).