3. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \( pV^a = const \), где \( p \) (Па) — давление в газе, \( V \) — объем газа в кубических метрах, \( a \) — положительная константа. При каком наименьшем уменьшении в 25 раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз? 4. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \( pV^k = 1,25 \cdot 10^8 \) Па \(\cdot м^4 \), где \( p \) — давление в газа (в Па), \( V \) — объём газа (в м³), \( k = \frac{4}{3} \). Найдите, какой объём \( V \) (в м3) будет занимать газ при давлении \( p \), равном \( 2 \cdot 10^5 \) Па. 5. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. 6. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Задача 3:

Пошаговое решение:

• Пусть начальный объем газа равен \( V_1 \), а конечное \( V_2 \). По условию, объем уменьшился в 25 раз, значит \( V_2 = \frac{V_1}{25} \).
• Пусть начальное давление равно \( p_1 \), а конечное \( p_2 \). По условию, давление увеличилось не менее чем в 5 раз, значит \( p_2 \geq 5p_1 \).
• Уравнение процесса: \( p_1V_1^a = p_2V_2^a = const \).
• Подставляем известные значения: \( p_1V_1^a \leq p_2V_2^a \leq 5p_1 \cdot (\frac{V_1}{25})^a \).
• Делим обе части неравенства на \( p_1V_1^a \): \( 1 \leq 5 \cdot (\frac{1}{25})^a \).
• Преобразуем: \( \frac{1}{5} \leq (\frac{1}{25})^a \).
• Так как \( \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 \), то \( \frac{1}{5} \leq (\frac{1}{5})^{2a} \).
• Из этого следует, что \( 2a \leq 1 \), значит \( a \leq \frac{1}{2} \).

Ответ: Наименьшее значение \( a \) равно \( \frac{1}{2} \).

Задача 4:

Пошаговое решение:

• Дано: \( pV^k = 1,25 \cdot 10^8 \) Па \(\cdot м^4 \), \( k = \frac{4}{3} \), \( p = 2 \cdot 10^5 \) Па.
• Найти: \( V \).
• Выражаем \( V \) из уравнения: \( V^k = \frac{1,25 \cdot 10^8}{p} \).
• Подставляем значения: \( V^{\frac{4}{3}} = \frac{1,25 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^5} = 625 \).
• Извлекаем корень: \( V = 625^{\frac{3}{4}} = (5^4)^{\frac{3}{4}} = 5^3 = 125 \).

Ответ: \( V = 125 м^3 \)

Задача 5:

Пошаговое решение:

• Вероятность перегорания одной лампы: \( p = 0,3 \).
• Вероятность того, что лампа не перегорит: \( 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7 \).
• Вероятность того, что обе лампы перегорят: \( 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \).
• Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит: \( 1 - 0,09 = 0,91 \).

Ответ: 0,91

Задача 6:

Пошаговое решение:

• Вероятность уничтожения цели при первом выстреле: \( p_1 = 0,4 \).
• Вероятность уничтожения цели при последующих выстрелах: \( p = 0,6 \).
• Вероятность того, что цель не будет уничтожена после первого выстрела: \( 1 - 0,4 = 0,6 \).
• Вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов: \( P_n = 0,6 \cdot (1 - 0,6)^{n-1} = 0,6 \cdot (0,4)^{n-1} \).

Чтобы вероятность уничтожения была не менее 0,98, вероятность того, что цель не будет уничтожена, должна быть не более 0,02.

• \( 0,6 \cdot (0,4)^{n-1} \leq 0,02 \).
• \( (0,4)^{n-1} \leq \frac{0,02}{0,6} = \frac{1}{30} \approx 0,0333 \).

Подбираем \( n \):

• \( n = 1: (0,4)^0 = 1 \).
• \( n = 2: (0,4)^1 = 0,4 \).
• \( n = 3: (0,4)^2 = 0,16 \).
• \( n = 4: (0,4)^3 = 0,064 \).
• \( n = 5: (0,4)^4 = 0,0256 \).

При \( n = 5 \) вероятность того, что цель не будет уничтожена, меньше 0,0333.

Ответ: 5 выстрелов.