Уравнение, рассмотренное в задаче 7, является уравнением вида a sin x + b cos x = c, где a≠ 0, b≠ 0, c≠ 0, которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt{a^2 + b^2} \): \( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) (2). Введем вспомогательный аргумент \( \phi \), такой, что \( \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), \( \sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Такое число \( \phi \) существует, так как \( (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1 \). Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде \( \sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), \( \sin (x + \phi) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением. Решить уравнение \( 4 \sin x + 3 \cos x = 5 \). Здесь \( a=4, b=3 \), \( \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \). Разделим обе части уравнения на 5: \( \frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x = 1 \). Введем вспомогательный аргумент \( \phi \), такой, что \( \cos \phi = \frac{4}{5} \), \( \sin \phi = \frac{3}{5} \). Исходное уравнение можно записать в виде.

Фото задания

×