Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Уравнение sin x = a. Решить уравнения. Вариант I: 1) 2 sin 6x = −√3; 2) 4 sin(x/2) = 0; 3) √2 sin 3x = −1; 4) 2 sin(x/4) = 1;…Фото задания

Ответ:

Используем общие значения: если \(\sin t=a\), то решения записываются через основные углы и период \(2\pi\), где \(k\in\mathbb Z\).

Вариант I

  1. \(2\sin 6x=-\sqrt3\).
    \(\sin 6x=-\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому \(6x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(6x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=-\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}\) или \(x=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).
  2. \(4\sin\frac{x}{2}=0\).
    \(\sin\frac{x}{2}=0\), значит \(\frac{x}{2}=\pi k\).
    Ответ: \(x=2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
  3. \(\sqrt2\sin 3x=-1\).
    \(\sin 3x=-\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \(3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(3x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}\) или \(x=\frac{5\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).
  4. \(2\sin\frac{x}{4}=1\).
    \(\sin\frac{x}{4}=\frac12\), поэтому \(\frac{x}{4}=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(\frac{x}{4}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=\frac{2\pi}{3}+8\pi k\) или \(x=\frac{10\pi}{3}+8\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
  5. \(3\sin x=1\).
    \(\sin x=\frac13\).
    Ответ: \(x=\arcsin\frac13+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac13+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Вариант II

  1. \(\sqrt2\sin\frac{x}{6}=1\).
    \(\sin\frac{x}{6}=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \(\frac{x}{6}=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=\frac{3\pi}{2}+12\pi k\) или \(x=\frac{9\pi}{2}+12\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
  2. \(5\sin 9x=-5\).
    \(\sin 9x=-1\), значит \(9x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{9}\), \(k\in\mathbb Z\).
  3. \(2\sin\frac{x}{3}=0\).
    \(\sin\frac{x}{3}=0\), значит \(\frac{x}{3}=\pi k\).
    Ответ: \(x=3\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
  4. \(3\sin x=2\).
    \(\sin x=\frac23\).
    Ответ: \(x=\arcsin\frac23+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac23+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
  5. \(2\sin 7x=-1\).
    \(\sin 7x=-\frac12\), поэтому \(7x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(7x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\).
    Ответ: \(x=-\frac{\pi}{42}+\frac{2\pi k}{7}\) или \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{7}\), \(k\in\mathbb Z\).