Уравнение вида \(f(x)+\frac{1}{f(x)}=a+\frac{1}{a}\) сводится к решению совокупности: выбрать правильный вариант.

Обозначим \(y=f(x)\). Тогда \(y\neq 0\), а уравнение имеет вид \(y+\frac{1}{y}=a+\frac{1}{a}\).

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

\[y+\frac{1}{y}-a-\frac{1}{a}=0,\]

\[\frac{y^2+1-ay-\frac{y}{a}}{y}=0,\]

\[\left(y-a\right)\left(y-\frac{1}{a}\right)=0.\]

Следовательно, \(y=a\) или \(y=\frac{1}{a}\), то есть

\[\left[\begin{array}{l} f(x)=a, \\ f(x)=\frac{1}{a}. \end{array}\right.\]

Ответ: первый вариант.