Уравнение: x³ + 4x² - 9x - 36 = 0

Решение:

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-36).

1. Проверим \( x = 1 \): \( 1^3 + 4(1)^2 - 9(1) - 36 = 1 + 4 - 9 - 36 = -40 \neq 0 \)
2. Проверим \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 4(-1)^2 - 9(-1) - 36 = -1 + 4 + 9 - 36 = -24 \neq 0 \)
3. Проверим \( x = 2 \): \( 2^3 + 4(2)^2 - 9(2) - 36 = 8 + 16 - 18 - 36 = -30 \neq 0 \)
4. Проверим \( x = -2 \): \( (-2)^3 + 4(-2)^2 - 9(-2) - 36 = -8 + 16 + 18 - 36 = -10 \neq 0 \)
5. Проверим \( x = 3 \): \( 3^3 + 4(3)^2 - 9(3) - 36 = 27 + 36 - 27 - 36 = 0 \)
6. Так как \( x=3 \) является корнем, то \( (x-3) \) — множитель многочлена. Разделим многочлен \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \) на \( (x-3) \) столбиком или по схеме Горнера.

   1   4   -9   -36  | 3
       3   21    36
   ------------------
   1   7   12     0

Получаем \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x-3)(x^2 + 7x + 12) \). Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 7x + 12 = 0 \).

7. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
8. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 - 1}{2} = -4 \]

Таким образом, корнями исходного уравнения являются \( x = 3, x = -3, x = -4 \).

Ответ: x = 3, x = -3, x = -4.