Уравнением с разделяющимися переменными является уравнение

Решение:

Уравнение с разделяющимися переменными — это дифференциальное уравнение вида \( P(x)dx = Q(y)dy \) или \( P(x)dy = Q(y)dx \), где функции \( P \) и \( Q \) зависят только от одной переменной соответственно. Другими словами, переменные \( x \) и \( y \) могут быть разделены так, чтобы каждая переменная и её дифференциал оказались по одну сторону от знака равенства.

Рассмотрим предложенные варианты:

• \( \frac{dx}{dt} = e^{t^2} \) — здесь \( dx = e^{t^2} dt \). Переменные разделены, так как \( dx \) зависит только от \( x \) (коэффициент 1) и \( dt \) зависит только от \( t \) (функция \( e^{t^2} \)).
• \( \frac{dx}{dt} = \sin(x+t) \) — здесь переменные \( x \) и \( t \) находятся в аргументе функции \( \sin \), их невозможно разделить.
• \( \frac{dx}{dt} = \sqrt{x^2 + t^2} \) — здесь \( x \) и \( t \) находятся под корнем в сумме, их невозможно разделить.
• \( \frac{dx}{dt} = t \sin x + x \cos t \) — это линейное дифференциальное уравнение, переменные не разделяются.

Следовательно, уравнение с разделяющимися переменными — это первый вариант.

Ответ: \( \frac{dx}{dt} = e^{t^2} \).