Урок 33. Контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Цель урока: проверить усвоение учащимися понятий двугранного, угла, перпендикулярность плоскостей и прямоугольного параллелепипеда. І вариант 1. Через вершину К треугольника МКР проведена прямая К№, перпендикулярная плоскости треугольника. Известно, что KN = 15 см. МК = КР = 10 см, МР = 12 см. Найдите расстояние от точки № до прямой МР. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA,B,C,D₁. Найдите двугранный угол В₁ADB, если АС = 6√2 м, АВ₁ = 4√3 м, ABCD - квадрат. 3. Основание тетраэдра DABC - треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Расстояния от точки D до сторон треугольника равны 5 см. Найти расстояние от точки В до плоскости АВС.

1. Рассмотрим треугольник MKP. Опустим высоту KE на сторону MP. Тогда NE - искомое расстояние от точки N до прямой MP.

Треугольник MKP равнобедренный, так как MK = KP = 10 см. Высота KE является и медианой, значит ME = EP = MP/2 = 12/2 = 6 см.

Из прямоугольного треугольника MKE по теореме Пифагора:

$$KE = \sqrt{MK^2 - ME^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Треугольник KNE - прямоугольный, так как KN перпендикулярна плоскости MKP, а значит, и прямой KE, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора:

$$NE = \sqrt{KN^2 + KE^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$$

2. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. ABCD - квадрат, значит AC = BD. Так как AC = 6√2 м, то сторона квадрата ABCD равна:

$$AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \text{ м}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁. По теореме Пифагора:

$$BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ м}$$

Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Тогда AO = AC/2 = 3√2 м. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₁OA. Тангенс угла B₁AO равен:

$$tg(\angle B_1AO) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Так как ABCD - квадрат, то диагонали AC и BD перпендикулярны, значит угол ADB равен 45°. Тогда двугранный угол B₁ADB равен углу между B₁O и AO, то есть углу B₁AO. Угол, тангенс которого равен √3/3, равен 30°.

3. Пусть ABC - треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Расстояния от точки D до сторон треугольника равны 5 см. Опустим перпендикуляр DH на плоскость ABC. Тогда проекции точки D на стороны треугольника (точки касания вписанной окружности) равноудалены от точки H и равны 5 см.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.

$$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см}$$ $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$$

Площадь треугольника ABC также можно найти как:

$$S = p \cdot r$$

где r - радиус вписанной окружности.

$$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник DHE, где E - точка касания вписанной окружности со стороной треугольника.

$$DH = \sqrt{DE^2 - HE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$

Ответ: 1. 17 см; 2. 30°; 3. 3 см