Урок 61. Контрольная работа № 5 по теме «Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем элементам» 1. Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, LADB = 15°, ∠BDC = (рис. 4.245). Доказать: AD || BC. 2. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. Найти: АВ. 3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника. 4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.

Ответ: 1. Доказано, что AD || BC. 2. AB = 4 см. 3. Построен равнобедренный треугольник. 4. Построен угол, равный 150°.

Решение:

1. Доказательство AD || BC:

• Так как ∠ADB = 15° и ∠BDC = 75°, то ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 15° + 75° = 90°.
• Также ∠BAD = ∠BCD = 90°.
• Следовательно, ∠ADC + ∠BCD = 90° + 90° = 180°.
• Поскольку сумма односторонних углов ADC и BCD равна 180°, то AD || BC.

2. Найти AB:

• В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°.
• Высота BB₁ является катетом против угла 30° в треугольнике ABB₁.
• Известно, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
• Следовательно, AB = 2 \( \cdot \) BB₁ = 2 \( \cdot \) 2 см = 4 см.

3. Построение равнобедренного треугольника:

• Строим основание треугольника.
• Проводим перпендикуляр из середины основания (это будет высота).
• Откладываем на перпендикуляре заданную высоту.
• Соединяем конец высоты с концами основания.

4. Построение угла 150° с помощью циркуля и линейки:

• Строим прямой угол (90°).
• Делим прямой угол пополам (получаем 45°).
• Складываем прямой угол и половину прямого угла: 90° + 45° + 15° = 150°.

Ответ: 1. Доказано, что AD || BC. 2. AB = 4 см. 3. Построен равнобедренный треугольник. 4. Построен угол, равный 150°.