Урок 49. Контрольная работа № 4 по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника»

Вариант 1

1. В треугольнике АВС АВ > ВС > АС. Найдите ДА, ∠B, ZC, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а дру- гой 40°.
   Краткое пояснение: Определяем углы треугольника, учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°.
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • Пусть \(\angle A = 120^\circ\), \(\angle B = 40^\circ\), тогда \(\angle C = 180^\circ - 120^\circ - 40^\circ = 20^\circ\).
   • Поскольку против большей стороны лежит больший угол, то \(\angle C < \angle B < \angle A\).
   • Значит, АВ > ВС > АС.
   • Тогда \(\angle A = 120^\circ, \angle B = 40^\circ, \angle C = 20^\circ\).

   Ответ: \(\angle A = 120^\circ, \angle B = 40^\circ, \angle C = 20^\circ\)

2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.
   Краткое пояснение: Составляем уравнение, используя условие и сумму углов треугольника.
   • Пусть \(\angle B = x\), тогда \(\angle C = 12x\).
   • Сумма углов в треугольнике: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
   • Подставляем известные значения: \(50^\circ + x + 12x = 180^\circ\).
   • Решаем уравнение: \(13x = 130^\circ\), следовательно, \(x = 10^\circ\).
   • Таким образом, \(\angle B = 10^\circ\), \(\angle C = 12 \cdot 10^\circ = 120^\circ\).

   Ответ: \(\angle B = 10^\circ, \angle C = 120^\circ\)

3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол В равен 35°, CD - высота. Найдите углы треугольника ACD.
   Краткое пояснение: Находим углы треугольника ACD, используя свойства прямоугольных треугольников.
   • В треугольнике АВС: \(\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
   • В треугольнике ADC: \(\angle ACD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

   Ответ: \(\angle ACD = 35^\circ\)

4. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.
   Краткое пояснение: Решаем задачу, составляя уравнение на основе периметра и соотношения сторон.
   • Пусть x - меньшая сторона, тогда большая сторона x + 12.
   • Рассмотрим два случая:
   • 1) Две меньшие стороны и одна большая: \(2x + x + 12 = 45\), \(3x = 33\), \(x = 11\). Стороны: 11 см, 11 см, 23 см.
   • 2) Две большие стороны и одна меньшая: \(2(x + 12) + x = 45\), \(2x + 24 + x = 45\), \(3x = 21\), \(x = 7\). Стороны: 7 см, 19 см, 19 см.

   Ответ: 11 см, 11 см, 23 см или 7 см, 19 см, 19 см

Вариант 2

1. В треугольнике АВС АВ < ВС < АС. Найдите ∠A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.
   Краткое пояснение: Определяем углы треугольника, учитывая, что сумма углов равна 180°.
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • Пусть \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), тогда \(\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
   • Поскольку против большей стороны лежит больший угол, то \(\angle A > \angle C > \angle B\).
   • Значит, \(AB < BC < AC\).
   • Тогда \(\angle A = 90^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle B = 30^\circ\).

   Ответ: \(\angle A = 90^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle B = 30^\circ\)

2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° боль- ше угла В. Найдите углы Ви С.
   Краткое пояснение: Составляем уравнение, используя условие и сумму углов треугольника.
   • Пусть \(\angle B = x\), тогда \(\angle C = x + 40^\circ\).
   • Сумма углов в треугольнике: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
   • Подставляем известные значения: \(90^\circ + x + x + 40^\circ = 180^\circ\).
   • Решаем уравнение: \(2x = 50^\circ\), следовательно, \(x = 25^\circ\).
   • Таким образом, \(\angle B = 25^\circ\), \(\angle C = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ\).

   Ответ: \(\angle B = 25^\circ, \angle C = 65^\circ\)

3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 70°, CD - биссектриса. Найдите углы треугольника BCD.
   Краткое пояснение: Находим углы треугольника BCD, используя свойства прямоугольных треугольников и биссектрисы.
   • В треугольнике ABC: \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).
   • CD - биссектриса, следовательно, \(\angle BCD = \frac{1}{2} \cdot \angle C = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\).

   Ответ: \(\angle BCD = 45^\circ\)

4. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.
   Краткое пояснение: Решаем задачу, составляя уравнение на основе периметра и соотношения сторон.
   • Пусть x - большая сторона, тогда меньшая сторона x - 13.
   • Рассмотрим два случая:
   • 1) Две большие стороны и одна меньшая: \(2x + x - 13 = 50\), \(3x = 63\), \(x = 21\). Стороны: 21 см, 21 см, 8 см.
   • 2) Две меньшие стороны и одна большая: \(2(x - 13) + x = 50\), \(2x - 26 + x = 50\), \(3x = 76\), \(x = \frac{76}{3}\). Стороны: \(\frac{76}{3}\) см, \(\frac{76}{3}\) см, \(\frac{37}{3}\) см.

   Ответ: 21 см, 21 см, 8 см или \(\frac{76}{3}\) см, \(\frac{76}{3}\) см, \(\frac{37}{3}\) см