Урок 49. Контрольная работа «Перпендикулярность прямой и плоскости». Вариант 1 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е середина ребра CD. А) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку В и перпендикулярной прямой B1E. Б) Найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно 2. 2. Пространственная диагональ АС₁ прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 равна 4 и составляет с гранями ADD1A1 и ABCD этого параллелепипеда углы 45° и 30° соответственно. Найдите длины рёбер параллелепипеда. 3. В треугольной пирамиде МАВС основание АВС правильный треугольник со стороной 2. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. Найдите угол между ребром МА и плоскостью (МВС). 4. В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 основание АВС прямоугольный треугольник с катетами АВ = 6, ВС = 8. Грань АВВ₁А₁ является квадратом. Найдите угол между прямыми А1В и B₁C.

1.

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$E$$ – середина ребра $$CD$$.

А)

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $$B$$ и перпендикулярной прямой $$B_1E$$.

Б)

Найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно 2.

К сожалению, без чертежа невозможно решить данную задачу.

2.

Пространственная диагональ $$AC_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равна 4 и составляет с гранями $$ADD_1A_1$$ и $$ABCD$$ этого параллелепипеда углы 45° и 30° соответственно. Найдите длины рёбер параллелепипеда.

Решение:

Пусть $$AA_1 = a, AB = b, BC = c$$. Тогда $$AC_1 = 4$$.

Угол между $$AC_1$$ и гранью $$ADD_1A_1$$ равен углу между $$AC_1$$ и $$A_1D$$, то есть $$\angle C_1AD = 45^\circ$$.

Угол между $$AC_1$$ и гранью $$ABCD$$ равен углу между $$AC_1$$ и $$AC$$, то есть $$\angle C_1AC = 30^\circ$$.

Из $$\triangle ACC_1$$:

$$AC = AC_1 \cdot cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$.

$$CC_1 = AC_1 \cdot sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$.

Следовательно, $$a = AA_1 = 2$$.

Из $$\triangle ADC_1$$:

$$AD = AC_1 \cdot cos 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$.

$$A_1C_1 = AC_1 \cdot sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$.

Следовательно, $$c = AD = 2\sqrt{2}$$.

По теореме Пифагора для $$\triangle ABC$$:

$$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2$$.

Следовательно, $$b = AB = 2$$.

Ответ: $$AA_1 = 2$$, $$AB = 2$$, $$BC = 2\sqrt{2}$$.

3.

В треугольной пирамиде $$MABC$$ основание $$ABC$$ – правильный треугольник со стороной 2. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. Найдите угол между ребром $$MA$$ и плоскостью $$(MBC)$$.

К сожалению, без чертежа невозможно решить данную задачу.

4.

В прямой треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ основание $$ABC$$ – прямоугольный треугольник с катетами $$AB = 6$$, $$BC = 8$$. Грань $$ABB_1A_1$$ является квадратом. Найдите угол между прямыми $$A_1B$$ и $$B_1C$$.

Решение:

1. В прямоугольном $$\triangle ABC$$ $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{36+64} = 10$$.

2. Так как $$ABB_1A_1$$ - квадрат, то $$AA_1=AB=6$$.

3. $$B_1C = \sqrt{B_1B^2 + BC^2} = \sqrt{36+64} = 10$$.

4. $$A_1B = \sqrt{A_1A^2 + AB^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$$.

Далее необходимы дополнительные построения и вычисления, чтобы найти угол между прямыми $$A_1B$$ и $$B_1C$$. Без рисунка невозможно решить данную задачу.

Ответ: Решение требует дополнительных построений и вычислений, которые невозможны без чертежа.