Урок 100. Контрольная работа по теме «Числа и вычисления. Делимость». Вариант 2 1. С помощью цифр 2, 4, 6 (можно с повтором) запишите все двузначные числа, которые делятся на a) 3; 6) 4; в) 11. 2. Разложите числа на простые множители: a) 63; 6) 420; в) 3535. • 3. Найдите НОД(135, 72) и НОК(135, 72), используя разложение на простые множители. 4. Найдите НОД(135, 72), используя алгоритм Евклида. 5. Выполните деление с остатком: a) 85:6; 6) 180:25; в) -18:4. 6. Укажите верные равенства: a) 19 = 38 (mod 5); 6) 56 = 32 (mod 6); в) 55 = 90 (mod 4); г) -21 = 19 (mod 8). 7. Найдите остаток при делении в + 22 на 6, если b = 35 (mod 6). 8. Найдите остаток при делении 36 + а на 5, если а = 243 (mod 5) и b = 22 (mod 5). 9. Остаток от деления числа а на 16 равен 5. Чему равен остаток от деления числа а на 8? 10. Найдите все числа вида 1х0у, кратные 36. 1

1. Делятся на:

a) 3: Числа, делящиеся на 3: 24, 42, 66, 64

б) 4: Числа, делящиеся на 4: 24, 44, 46, 64

в) 11: Двузначные числа, делящиеся на 11, отсутствуют, так как у нас есть только цифры 2, 4, 6.

2. Разложение на простые множители:

a) 63 = 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 7

б) 420 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 7

в) 3535 = 5 \(\cdot\) 7 \(\cdot\) 101

3. НОД(135, 72) и НОК(135, 72):

135 = 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5

72 = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3

НОД(135, 72) = 3 \(\cdot\) 3 = 9

НОК(135, 72) = 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 = 1080

4. НОД(135, 72) с алгоритмом Евклида:

135 = 72 \(\cdot\) 1 + 63

72 = 63 \(\cdot\) 1 + 9

63 = 9 \(\cdot\) 7 + 0

НОД(135, 72) = 9

5. Деление с остатком:

a) 85 : 6 = 14 (остаток 1)

б) 180 : 25 = 7 (остаток 5)

в) -18 : 4 = -5 (остаток 2)

6. Верные равенства:

a) 19 ≡ 38 (mod 5) -> 19 mod 5 = 4, 38 mod 5 = 3 - Неверно

б) 56 ≡ 32 (mod 6) -> 56 mod 6 = 2, 32 mod 6 = 2 - Верно

в) 55 ≡ 90 (mod 4) -> 55 mod 4 = 3, 90 mod 4 = 2 - Неверно

г) -21 ≡ 19 (mod 8) -> -21 mod 8 = 3, 19 mod 8 = 3 - Верно

Ответ: б, г

7. Остаток при делении b + 22 на 6:

b ≡ 35 (mod 6) -> b mod 6 = 5

b + 22 ≡ 5 + 22 ≡ 27 (mod 6)

27 mod 6 = 3

Ответ: 3

8. Остаток при делении 3b + a на 5:

a ≡ 243 (mod 5) -> a mod 5 = 3

b ≡ 22 (mod 5) -> b mod 5 = 2

3b + a ≡ 3 \(\cdot\) 2 + 3 ≡ 9 (mod 5)

9 mod 5 = 4

Ответ: 4

9. Остаток от деления числа a на 8:

a = 16k + 5

a = 8 \(\cdot\) 2k + 5

a mod 8 = 5

Ответ: 5

10. Числа вида 1x0y, кратные 36:

Число должно делиться на 4 и на 9.

Для делимости на 4, 0y должно делиться на 4. Значит y = 0, 4, 8.

Для делимости на 9, сумма цифр должна делиться на 9: 1 + x + 0 + y должно делиться на 9.

Если y = 0, то 1 + x + 0 + 0 должно делиться на 9. x = 8. Число 1800.

Если y = 4, то 1 + x + 0 + 4 должно делиться на 9. x = 4. Число 1404.

Если y = 8, то 1 + x + 0 + 8 должно делиться на 9. x = 0. Число 1008.

Ответ: 1800, 1404, 1008