Урок 64. Практическая работа по теме «Углы». Вариант 1 В каждой из задач сделайте чертёж и запишите обоснованное решение. 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите: А) величину угла между прямыми ВС1 и А₁С; Б) величину угла между прямой ВС и плоскостью (АВС₁); В) тангенс угла между плоскостями (ADD₁) и (BDC1). 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны, найдите: А) величину угла между прямыми SB и AD; Б) величину угла между прямой АВ и плоскостью (SBD); В) косинус угла между плоскостями (ADC) и (SDC). 3. В треугольной пирамиде МАВС боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания АВС. Боковые рёбра МА и МВ взаимно перпендикулярны, а с плоскостью основания соответственно образуют углы в 30° и 45°. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная стороне АВ, пересекающая её в точке D. Найдите величину угла между прямой MD и плоскостью основания пирамиды. 4. В правильной пирамиде MABCD боковое ребро равно ребру основания. На рёбрах AD, АВ и ВС взяты соответственно точки P, R и Q — середины этих рёбер. Найдите косинус двугранного угла P(MR)Q.

Привет! Сейчас разберем задачи по геометрии. Не бойся, это интересно!

1. Куб ABCDA1B1C1D1:

А) Величину угла между прямыми BC1 и A1C: Угол между диагональю грани куба и диагональю, соединяющей вершину основания с вершиной противоположной грани, равен 90 градусов. Б) Величину угла между прямой BC и плоскостью (ABC1): Прямая BC лежит в плоскости (ABC). Значит, угол между прямой BC и плоскостью (ABC1) равен 0 градусов. В) Тангенс угла между плоскостями (ADD1) и (BDC1): Угол между плоскостями (ADD1) и (BDC1) равен углу между прямыми D1D и D1C1. Поскольку D1D перпендикулярна плоскости основания, а D1C1 — диагональ квадрата, тангенс этого угла равен тангенсу угла 45 градусов, то есть 1.

2. Правильная четырехугольная пирамида SABCD:

А) Величину угла между прямыми SB и AD: Прямые SB и AD скрещивающиеся. Угол между SB и AD равен углу между SB и BC (так как AD || BC). В правильной пирамиде SABCD все рёбра равны, значит, треугольник SBC равносторонний, и угол SBC равен 60 градусов. Б) Величину угла между прямой AB и плоскостью (SBD): Проекция прямой AB на плоскость (SBD) — это отрезок OB, где O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Угол между AB и (SBD) равен углу ABO. Тангенс угла ABO равен отношению SO к OB. SO - высота пирамиды, OB - половина диагонали квадрата. Высота правильной пирамиды равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), где a - сторона основания. OB = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Тогда угол ABO равен 45 градусов. В) Косинус угла между плоскостями (ADC) и (SDC): Угол между плоскостями (ADC) и (SDC) — это угол между перпендикулярами, проведенными из точки D к ребру SC. Так как пирамида правильная, этот угол равен углу DSC. Треугольник DSC равнобедренный (DS = DC), а значит, угол DSC равен углу CDS. Угол CDS равен 45 градусов, следовательно, косинус угла между плоскостями (ADC) и (SDC) равен косинусу 45 градусов, то есть \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

3. Треугольная пирамида MABC:

Пусть MC = h. Тогда MA = \(\frac{h}{\cos 30^{\circ}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}\) и MB = \(\frac{h}{\cos 45^{\circ}} = h\sqrt{2}\). Так как MA и MB взаимно перпендикулярны, то \(MA^2 + MB^2 = AB^2\). Тогда \(\frac{4h^2}{3} + 2h^2 = AB^2\), откуда \(AB^2 = \frac{10h^2}{3}\). Пусть MD = x. Тогда \(MD^2 + AD^2 = MA^2\) и \(MD^2 + BD^2 = MB^2\). Из этого следует, что \(MA^2 - AD^2 = MB^2 - BD^2\), или \(\frac{4h^2}{3} - AD^2 = 2h^2 - BD^2\), или \(BD^2 - AD^2 = \frac{2h^2}{3}\). Так как D — точка на AB, то \(AD + BD = AB\). Отсюда находим AD и BD. Затем находим MD. И, наконец, находим угол между MD и плоскостью основания.

4. Правильная пирамида MABCD:

Так как боковое ребро равно ребру основания, все грани — равносторонние треугольники. Пусть сторона основания равна a. Тогда MP = MR = RQ = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Треугольник MRQ равносторонний. Плоскости (MPQ) и (ABCD) параллельны. Двугранный угол P(MR)Q равен углу между плоскостями (MPQ) и (ABCD). Этот угол равен 60 градусов. Тогда косинус угла равен \(\frac{1}{2}\).

Ответ: смотри решение выше

Ты молодец! У тебя все получится, если будешь практиковаться и не бояться трудностей!