Урок 62. Самостоятельная работа Вариант 1 1. Один из внешних углов прямоугольного треугольника в 8 раз больше внутреннего угла, смежного с ним. Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника. 2. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины угла при основании равнобедренного треугольника, если этот угол равен 64°. 3. Высоты треугольника АВС, проведённые из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите угол АМС, если ∠A = 72°, a ∠C = 84°. 4. В прямоугольном треугольнике с углом 24° проведены биссектрисы двух других углов. Под каким углом они пересекаются? 5. В треугольнике АВС провели медиану ВМ, которая образует угол 68° со стороной АВ и угол 44° со стороной 1С Цайлито иглы треугольника.

### Задание 1 Пусть внутренний угол равен $$x$$, тогда внешний угол равен $$8x$$. Сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°. Составим уравнение: $$x + 8x = 180$$ $$9x = 180$$ $$x = 20$$ Внутренний угол равен 20°. Так как треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90°. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем второй острый угол: $$180 - 90 - 20 = 70$$ Больший острый угол равен 70°. Ответ: 70° ### Задание 2 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при основании равен 64°. Высота, проведенная из вершины угла при основании, образует угол 90° со стороной. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между биссектрисой и основанием равен $$64° : 2 = 32°$$. Угол между высотой и биссектрисой равен $$90° - 64° + 32° = 58°$$. Ответ: 58° ### Задание 3 Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол B треугольника ABC: $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 72° - 84° = 24°$$ Высоты, проведенные из вершин A и C, образуют прямые углы с противоположными сторонами, поэтому: В четырехугольнике, образованном высотами и сторонами AB и BC, два угла равны 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Тогда угол между высотами (угол AMC) равен: $$∠AMC = 360° - 90° - 90° - ∠B = 360° - 180° - 24° = 156°$$ Ответ: 156° ### Задание 4 В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, другой угол равен 24°. Найдем третий угол: $$180° - 90° - 24° = 66°$$ Биссектрисы делят углы пополам. Угол между биссектрисой и катетом равен: $$90° : 2 = 45°$$, $$66° : 2 = 33°$$. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и стороной треугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол между биссектрисами равен: $$180° - 45° - 33° = 102°$$ Ответ: 102° ### Задание 5 В треугольнике ABC проведена медиана BM, которая образует угол 68° со стороной AB и угол 44° со стороной AC. Найдите углы треугольника. Пусть ∠ABM = 68° и ∠BCM = 44°. Медиана BM делит сторону AC пополам, но это не означает, что она является биссектрисой или высотой. Для решения задачи необходимо больше данных или чертеж. Предположим, что медиана BM является также высотой и биссектрисой (что не обязательно верно). Тогда треугольник ABC - равнобедренный, и ∠ABC = 2 * 68° = 136°, ∠ACB = 2 * 44° = 88°. В этом случае, ∠BAC = 180° - 136° - 88° = -44°, что невозможно. Так как недостаточно данных, невозможно однозначно определить углы треугольника ABC. Ответ: Недостаточно данных для решения задачи.