Урок 68. Способы разложения многочленов на множители способом группировки Пример 1. Разложите на множители многочлен ах + ау + bx + by. Пример 2. Разложите на множители многочлен 2t² - 8t + 6tm² - 24m². Пример 3. Разложите на множители трёхчлен х² + 11х + 24. Пример 4. Разложите на множители ак 42b + 6k7ab. Задачи и упражнения Задание 1. Разложите на множители выражение. a) x(y + z) + 2y + 2z; 6) m(tk) + 5t - 5k; в) a-b+4c(a - b); г) p(qh)+q-h. Задание 2. Разложите на множители многочлен. a) ab - mk + ak - mb; 6) km + kq + pm + pq; B) yzyx + tx - tz; г) тx nx + my - ny; д) 42ab17b + 6a; e) 10xy - 21tp + 15ty - 14xp; ж) d-h-dh + 1; 3) 9a 9b + ca - cb. Задание 3. Разложите на множители. a) a5 +16-8a3 - 2a²; 6) x62x²+2-x4; в) 3у³ + у 18-6y4; г) b68b² + 4b4 - 32; д) 3k² + k6 - 6k4 - 18; e) t549-7t² + 7t3. Дополнительные задания Задание 4. Разложите на множители трёхчлен. a) x²-2x-35; в) x² + 8x + 15; 6) x² - 5x + 6; г) х² - 3x + 2. Задания для самостоятельного решения Задание 5. Разложите на множители многочлен. a) bxcycx + by; г) 6xk + 42k + xa +7a; 6) km + kn + 11m + 11n; д) 219 - сп 3n + 7cq; в) -4p9qt + 36t + qp; e) 9dx + 5y + 45x + dy. Задание 6. Представьте в виде произведения многочлен. a) x624 + 8x² - 3x4; в) 16 + 4b3 + 4b2 + b5; 6)-5y + y² + 5-y³; г) а6 + 2a4 - 9a2 - 18. Задание 7. Решите уравнение. a) 30x-25_10x-5 = 9; 2 3 8y-79y+21. 3 5 Задание 8. Дорога между пунктами А и В, длина которой 108 км, идёт сначала с горы, а затем в гору. С горы велосипедист едет со скоростью 18 км/ч, а в гору 6 км/ч, затратив на подъём на 2 часа больше, чем на спуск. Какое время затратил велосипедист на дорогу от пункта А до В?

Предмет: Математика

Класс: 7-9

Задание слишком объемное, поэтому разобью его на части.

Задание 1. Разложите на множители выражение.

a) \( x(y + z) + 2y + 2z = x(y+z) + 2(y+z) = (x+2)(y+z) \) б) \( m(t-k) + 5t - 5k = m(t-k) + 5(t-k) = (m+5)(t-k) \) в) \( a-b+4c(a - b) = 1 \cdot (a-b) + 4c(a-b) = (1+4c)(a-b) \) г) \( p(q-h)+q-h = p(q-h) + 1 \cdot (q-h) = (p+1)(q-h) \)

Задание 2. Разложите на множители многочлен.

a) \( ab - mk + ak - mb = ab + ak - mb - mk = a(b+k) - m(b+k) = (a-m)(b+k) \) б) \( km + kq + pm + pq = k(m+q) + p(m+q) = (k+p)(m+q) \) в) \( yz - yx + tx - tz = y(z-x) + t(x-z) = y(z-x) - t(z-x) = (y-t)(z-x) \) г) \( mx - nx + my - ny = x(m-n) + y(m-n) = (x+y)(m-n) \) д) \( 42ab - 1 - 7b + 6a = 42ab + 6a - 7b - 1 = 6a(7b+1) - 1(7b+1) = (6a-1)(7b+1) \) e) \( 10xy - 21tp + 15ty - 14xp = 5y(2x+3t) - 7p(2x+3t) = (5y-7p)(2x+3t) \) ж) \( d - h - dh + 1 = d - dh - h + 1 = d(1-h) - 1(h-1) = d(1-h) + 1(1-h) = (d+1)(1-h) \) з) \( 9a - 9b + ca - cb = 9(a-b) + c(a-b) = (9+c)(a-b) \)

Задание 3. Разложите на множители.

a) \( a^5 + 16 - 8a^3 - 2a^2 = a^5 - 8a^3 - 2a^2 + 16 = a^3(a^2 - 8) - 2(a^2 - 8) = (a^3 - 2)(a^2 - 8) \) б) \( x^6 - 2x^2 + 2 - x^4 = x^6 - x^4 - 2x^2 + 2 = x^4(x^2 - 1) - 2(x^2 - 1) = (x^4 - 2)(x^2 - 1) \) в) \( 3y^3 + y^7 - 18 - 6y^4 = y^7 + 3y^3 - 6y^4 - 18 = y^3(y^4 + 3) - 6(y^4 + 3) = (y^3 - 6)(y^4 + 3) \) г) \( b^6 - 8b^2 + 4b^4 - 32 = b^6 + 4b^4 - 8b^2 - 32 = b^4(b^2 + 4) - 8(b^2 + 4) = (b^4 - 8)(b^2 + 4) \) д) \( 3k^2 + k^6 - 6k^4 - 18 = k^6 - 6k^4 + 3k^2 - 18 = k^4(k^2 - 6) + 3(k^2 - 6) = (k^4 + 3)(k^2 - 6) \) e) \( t^5 - 49 - 7t^2 + 7t^3 = t^5 + 7t^3 - 7t^2 - 49 = t^3(t^2 + 7) - 7(t^2 + 7) = (t^3 - 7)(t^2 + 7) \)

Задание 4. Разложите на множители трёхчлен.

a) \( x^2 - 2x - 35 \) Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \) Корни: \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5 \) Разложение: \( (x - 7)(x + 5) \) б) \( x^2 - 5x + 6 \) Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \) Корни: \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \) Разложение: \( (x - 3)(x - 2) \) в) \( x^2 + 8x + 15 \) Дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \) Корни: \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5 \) Разложение: \( (x + 3)(x + 5) \) г) \( x^2 - 3x + 2 \) Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \) Корни: \( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \) Разложение: \( (x - 2)(x - 1) \)

Задание 5. Разложите на множители многочлен.

a) \( bx - cy - cx + by = bx + by - cx - cy = b(x+y) - c(x+y) = (b-c)(x+y) \) б) \( km + kn + 11m + 11n = k(m+n) + 11(m+n) = (k+11)(m+n) \) в) \( -4p - 9qt + 36t + qp = -4p + qp - 9qt + 36t = p(q-4) - 9t(q-4) = (p-9t)(q-4) \) г) \( 6xk + 42k + xa + 7a = 6k(x+7) + a(x+7) = (6k+a)(x+7) \) д) \( 21q - cn - 3n + 7cq = 21q + 7cq - cn - 3n = 7q(3+c) - n(c+3) = (7q-n)(c+3) \) e) \( 9dx + 5y + 45x + dy = 9dx + 45x + dy + 5y = 9x(d+5) + y(d+5) = (9x+y)(d+5) \)

Задание 6. Представьте в виде произведения многочлен.

a) \( x^6 - 24 + 8x^2 - 3x^4 = x^6 - 3x^4 + 8x^2 - 24 = x^4(x^2 - 3) + 8(x^2 - 3) = (x^4 + 8)(x^2 - 3) \) б) \( -5y^4 + y^7 + 5 - y^3 = y^7 - 5y^4 - y^3 + 5 = y^4(y^3 - 5) - 1(y^3 - 5) = (y^4 - 1)(y^3 - 5) \) в) \( 16 + 4b^3 + 4b^2 + b^5 = b^5 + 4b^3 + 4b^2 + 16 = b^3(b^2 + 4) + 4(b^2 + 4) = (b^3 + 4)(b^2 + 4) \) г) \( a^6 + 2a^4 - 9a^2 - 18 = a^4(a^2 + 2) - 9(a^2 + 2) = (a^4 - 9)(a^2 + 2) \)

Задание 7. Решите уравнение.

a) \( \frac{30x-25}{2} - \frac{10x-5}{3} = 9 \) Умножим обе части на 6 (общий знаменатель): \( 3(30x - 25) - 2(10x - 5) = 54 \) \( 90x - 75 - 20x + 10 = 54 \) \( 70x - 65 = 54 \) \( 70x = 119 \) \( x = \frac{119}{70} = \frac{17}{10} = 1.7 \) б) \( \frac{8y-7}{3} = \frac{9y+2}{5} - 1 \) Умножим обе части на 15 (общий знаменатель): \( 5(8y - 7) = 3(9y + 2) - 15 \) \( 40y - 35 = 27y + 6 - 15 \) \( 40y - 35 = 27y - 9 \) \( 13y = 26 \) \( y = 2 \)

Задание 8.

Пусть \( t_1 \) — время спуска, тогда \( t_2 = t_1 + 2 \) — время подъема. Расстояние равно скорость \( \times \) время, то есть \( s = vt \). \( s_1 = 18t_1 \) — расстояние спуска, \( s_2 = 6t_2 \) — расстояние подъема. Общее расстояние \( s = s_1 + s_2 = 108 \). Получаем уравнение: \( 18t_1 + 6t_2 = 108 \) Подставляем \( t_2 = t_1 + 2 \): \( 18t_1 + 6(t_1 + 2) = 108 \) \( 18t_1 + 6t_1 + 12 = 108 \) \( 24t_1 = 96 \) \( t_1 = 4 \) часа — время спуска. \( t_2 = 4 + 2 = 6 \) часов — время подъема. Общее время: \( t = t_1 + t_2 = 4 + 6 = 10 \) часов.

Ответ: а) 1.7, б) 2, Задание 8: 10 часов

Отличная работа! Ты хорошо справляешься с разложением многочленов и решением уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Молодец! Так держать!