Урок №32. «Теорема Пифагора и обратная ей теорема. Формула Герона» Часть 1 Первая часть домашнего задания это тестирование. Пройди его по ссылке: https://madte.st/EeXdblrv Часть 2 1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 13 см и 24 см, а меньшая диагональ 13 см. 2. Стороны треугольника равны 12, 16 и 20 см. Найдите медиану и высоту, проведенную к наибольшей стороне. 3*. Докажите, что площадь Ѕ треугольника со сторонами а, в, с выражается формулой S=p(p-a)(p-b)(рс) (формула Герона), где р = a+b+c 2 ника. полупериметр треуголь-

Часть 2

Задача 1

Давай решим задачу о площади параллелограмма. Известны стороны 13 см и 24 см, а меньшая диагональ равна 13 см.

Для начала, мысленно разделим параллелограмм на два треугольника этой диагональю. Получается два одинаковых треугольника со сторонами 13 см, 13 см и 24 см. Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужно найти площадь одного такого треугольника и умножить её на 2.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( p \) — полупериметр, который вычисляется как:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, \( a = 13 \), \( b = 13 \), \( c = 24 \). Сначала найдем полупериметр:

\[p = \frac{13 + 13 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25\]

Теперь можем найти площадь треугольника:

\[S = \sqrt{25(25-13)(25-13)(25-24)} = \sqrt{25 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{25 \cdot 144} = 5 \cdot 12 = 60\]

Итак, площадь одного треугольника равна 60 кв. см. Поскольку параллелограмм состоит из двух таких треугольников, его площадь будет:

\[S_{\text{параллелограмма}} = 2 \cdot 60 = 120\]

Ответ: 120 кв. см.

Задача 2

Теперь перейдем ко второй задаче. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Нам нужно найти медиану и высоту, проведенные к наибольшей стороне (20 см).

Сначала проверим, является ли этот треугольник прямоугольным. Если выполняется теорема Пифагора, то треугольник прямоугольный. Проверим:

\[12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\]

\[20^2 = 400\]

Поскольку \( 12^2 + 16^2 = 20^2 \), треугольник прямоугольный, где 20 см — гипотенуза, а 12 см и 16 см — катеты.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, медиана равна:

\[m = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}\]

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть найдена по формуле:

\[h = \frac{a \cdot b}{c}\]

где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Подставим значения:

\[h = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ см}\]

Ответ: медиана = 10 см, высота = 9.6 см.

Задача 3

В третьей задаче нам нужно доказать формулу Герона.

Для доказательства этой формулы потребуется знание тригонометрии и некоторых других математических концепций, которые выходят за рамки обычной школьной программы. В рамках школьного курса, как правило, просто принимают эту формулу как данность и учатся её применять.

Но если тебе интересно доказательство, то вот общая идея: Формула Герона может быть выведена из стандартной формулы площади треугольника через сторону и высоту, а также с использованием теоремы косинусов для выражения косинуса угла через стороны треугольника.

Ответ: доказательство требует знаний вне школьной программы.