Урок 51. Решение задач по теме «Механическая работа. Мощность»

1. Вспоминаем осн. формулы:

\( A = F \cdot S \)

\( P = \frac{A}{\Delta t} \)

\( P = F \cdot v \)

2. Решаем задачи:

1. 
   

   Условие: Вычислите мощность насоса, подающего ежеминутно 1300л воды на высоту 24м.

   
   

   Решение:

   
   

   Сначала переведём объём воды в массу. Плотность воды \( \rho \approx 1000 \; \text{кг/м}^3 \). Объём \( V = 1300 \; \text{л} = 0.0013 \; \text{м}^3 \).

   
   

   Масса воды \( m = \rho \cdot V = 1000 \; \text{кг/м}^3 \cdot 0.0013 \; \text{м}^3 = 1.3 \; \text{кг} \).

   
   

   Работа, совершённая насосом: \( A = m \cdot g \cdot h \), где \( g \approx 9.8 \; \text{м/с}^2 \) (ускорение свободного падения).

   
   

   \( A = 1.3 \; \text{кг} \cdot 9.8 \; \text{м/с}^2 \cdot 24 \; \text{м} \approx 305.28 \; \text{Дж} \).

   
   

   Время подачи воды \( \Delta t = 1 \; \text{мин} = 60 \; \text{с} \).

   
   

   Мощность насоса: \( P = \frac{A}{\Delta t} = \frac{305.28 \; \text{Дж}}{60 \; \text{с}} \approx 5.09 \; \text{Вт} \).

   
   

   Ответ: \( \approx 5.09 \; \text{Вт} \).

   
   


2. 
   

   Условие: Ученик равномерно поднимает на высоту стола гирю массой 5 кг. Вычислить какую работу он при этом совершает.

   
   

   Решение:

   
   

   Работа, совершённая учеником, равна работе силы тяжести, но с противоположным знаком. Так как гиря поднимается равномерно, ученик прикладывает силу, равную силе тяжести гири, направленную вверх. Работа определяется формулой \( A = F \cdot S \), где \( F \) — сила, приложенная учеником, а \( S \) — высота подъёма.

   
   

   Сила тяжести гири \( F_{тяж} = m \cdot g = 5 \; \text{кг} \cdot 9.8 \; \text{м/с}^2 = 49 \; \text{Н} \).

   
   

   Ученик прикладывает силу \( F = 49 \; \text{Н} \) (направленную вверх).

   
   

   Высота подъёма \( h \) — это высота стола. Пусть высота стола равна \( h \) метров.

   
   

   Работа ученика: \( A = F \cdot h = 49 \; \text{Н} \cdot h \; \text{м} = 49h \; \text{Дж} \).

   
   

   Ответ: \( 49h \; \text{Дж} \), где \( h \) — высота стола в метрах.

   
   


3. 
   

   Условие: Какую мощность развивает трактор при равномерном движении на первой скорости, равной 3,6 км/ч, если сила тяги трактора 12кН?

   
   

   Решение:

   
   

   Переведём скорость в м/с: \( v = 3.6 \; \text{км/ч} = \frac{3600 \; \text{м}}{3600 \; \text{с}} = 1 \; \text{м/с} \).

   
   

   Сила тяги \( F = 12 \; \text{кН} = 12000 \; \text{Н} \).

   
   

   Мощность находим по формуле \( P = F \cdot v \).

   
   

   \( P = 12000 \; \text{Н} \cdot 1 \; \text{м/с} = 12000 \; \text{Вт} = 12 \; \text{кВт} \).

   
   

   Ответ: \( 12 \; \text{кВт} \).

   
   


4. 
   

   Условие: Высота плотины 12м. Мощность водяного потока 3МВт. Найдите объем воды, падающей с плотины за 1 мин.

   
   

   Решение:

   
   

   Мощность \( P = 3 \; \text{МВт} = 3 \cdot 10^6 \; \text{Вт} \).

   
   

   Время \( \Delta t = 1 \; \text{мин} = 60 \; \text{с} \).

   
   

   Высота падения \( h = 12 \; \text{м} \).

   
   

   Работа, совершаемая падающей водой: \( A = P \cdot \Delta t = 3 \cdot 10^6 \; \text{Вт} \cdot 60 \; \text{с} = 180 \cdot 10^6 \; \text{Дж} = 180 \; \text{МДж} \).

   
   

   Работа также равна \( A = m \cdot g \cdot h \).

   
   

   Выразим массу: \( m = \frac{A}{g \cdot h} = \frac{180 \cdot 10^6 \; \text{Дж}}{9.8 \; \text{м/с}^2 \cdot 12 \; \text{м}} \approx \frac{180 \cdot 10^6}{117.6} \; \text{кг} \approx 1.53 \cdot 10^6 \; \text{кг} \).

   
   

   Найдем объём: \( V = \frac{m}{\rho} \). Плотность воды \( \rho = 1000 \; \text{кг/м}^3 \).

   
   

   \( V = \frac{1.53 \cdot 10^6 \; \text{кг}}{1000 \; \text{кг/м}^3} = 1530 \; \text{м}^3 \).

   
   

   Ответ: \( \approx 1530 \; \text{м}^3 \).

   
   


5. 
   

   Условие: Подъемный кран поднял со дна озера стальную балку массой 3,4 т. Сколько времени длился подъем, если глубина озера 6,1м, а кран развивает мощность 2кВт? Плотность стали \( \rho=7800 \text{кг/м}^3 \).

   
   

   Решение:

   
   

   Масса балки \( m = 3.4 \; \text{т} = 3400 \; \text{кг} \).

   
   

   Высота подъёма \( h = 6.1 \; \text{м} \).

   
   

   Мощность крана \( P = 2 \; \text{кВт} = 2000 \; \text{Вт} \).

   
   

   Работа, совершённая краном: \( A = m \cdot g \cdot h = 3400 \; \text{кг} \cdot 9.8 \; \text{м/с}^2 \cdot 6.1 \; \text{м} \approx 203276 \; \text{Дж} \).

   
   

   Время подъёма находим из формулы мощности: \( \Delta t = \frac{A}{P} \).

   
   

   \( \Delta t = \frac{203276 \; \text{Дж}}{2000 \; \text{Вт}} \approx 101.6 \; \text{с} \).

   
   

   Ответ: \( \approx 101.6 \; \text{с} \).

   
   


6. 
   

   Условие: Автокран, поднимая груз массой 1,5т, выполнил работу 22,5кДж. На какую высоту был поднят груз?

   
   

   Решение:

   
   

   Масса груза \( m = 1.5 \; \text{т} = 1500 \; \text{кг} \).

   
   

   Работа \( A = 22.5 \; \text{кДж} = 22500 \; \text{Дж} \).

   
   

   Работа определяется формулой \( A = m \cdot g \cdot h \). Выразим высоту \( h \).

   
   

   \( h = \frac{A}{m \cdot g} = \frac{22500 \; \text{Дж}}{1500 \; \text{кг} \cdot 9.8 \; \text{м/с}^2} \approx \frac{22500}{14700} \; \text{м} \approx 1.53 \; \text{м} \).

   
   

   Ответ: \( \approx 1.53 \; \text{м} \).

   
   


7. 
   

   Условие: Какую работу выполняет двигатель автомобиля на пути 80м, развивая силу тяги 6,5кН?

   
   

   Решение:

   
   

   Сила тяги \( F = 6.5 \; \text{кН} = 6500 \; \text{Н} \).

   
   

   Путь \( S = 80 \; \text{м} \).

   
   

   Работа находится по формуле \( A = F \cdot S \).

   
   

   \( A = 6500 \; \text{Н} \cdot 80 \; \text{м} = 520000 \; \text{Дж} = 520 \; \text{кДж} \).

   
   

   Ответ: \( 520 \; \text{кДж} \).

   
   


8. 
   

   Условие: Определить работу, совершенную электровозом за 2 ч равномерного перемещения состава со средней скоростью 34км/ч, если сила тяги равна 50кН.

   
   

   Решение:

   
   

   Время \( \Delta t = 2 \; \text{ч} = 2 \cdot 3600 \; \text{с} = 7200 \; \text{с} \).

   
   

   Скорость \( v = 34 \; \text{км/ч} = \frac{34000 \; \text{м}}{3600 \; \text{с}} \approx 9.44 \; \text{м/с} \).

   
   

   Сила тяги \( F = 50 \; \text{кН} = 50000 \; \text{Н} \).

   
   

   Расстояние \( S = v \cdot \Delta t = 9.44 \; \text{м/с} \cdot 7200 \; \text{с} \approx 68000 \; \text{м} = 68 \; \text{км} \).

   
   

   Работа: \( A = F \cdot S = 50000 \; \text{Н} \cdot 68000 \; \text{м} = 3400000000 \; \text{Дж} = 3400 \; \text{МДж} \).

   
   

   Ответ: \( 3400 \; \text{МДж} \).

   
   


9. 
   

   Условие: За какое время подъемник мощностью 10кВт поднимет груз массой 2т на высоту 20м, если груз перемещается равномерно?

   
   

   Решение:

   
   

   Мощность \( P = 10 \; \text{кВт} = 10000 \; \text{Вт} \).

   
   

   Масса груза \( m = 2 \; \text{т} = 2000 \; \text{кг} \).

   
   

   Высота подъёма \( h = 20 \; \text{м} \).

   
   

   Работа, совершённая для подъёма груза: \( A = m \cdot g \cdot h = 2000 \; \text{кг} \cdot 9.8 \; \text{м/с}^2 \cdot 20 \; \text{м} = 392000 \; \text{Дж} \).

   
   

   Время подъёма находим из формулы мощности: \( \Delta t = \frac{A}{P} \).

   
   

   \( \Delta t = \frac{392000 \; \text{Дж}}{10000 \; \text{Вт}} = 39.2 \; \text{с} \).

   
   

   Ответ: \( 39.2 \; \text{с} \).