Контрольные задания > Уровень 1. Базовые задания (простые случаи с очевидными корнями) 1. x²-4<0 2. x²+3x>0 3. -x²+9<0 4. 2x²-8>0 5. x²-6x+8<0 Уровень 2. Средний уровень (дробные корни, неполные квадраты) 6. x²-x-6>0 7. 3x²+5x-2≤0 8. -2x²+7x-3≥0 9. 4x²-12x+9<0 10. x²+4x+4≥0 Уровень 3. Сложный уровень (с дополнительными преобразованиями) 11. (x-1)(x+3)≤0 12. (2x-5)(x+1)>0 13. х(х-4)(х+2)≥0 (неравенство третьей степени, но решается аналогично) 14. x -9 x+2 ≥ 0 (дробно-рациональное) 15. x²-5x+6≤2
Вопрос:

Уровень 1. Базовые задания (простые случаи с очевидными корнями) 1. x²-4<0 2. x²+3x>0 3. -x²+9<0 4. 2x²-8>0 5. x²-6x+8<0 Уровень 2. Средний уровень (дробные корни, неполные квадраты) 6. x²-x-6>0 7. 3x²+5x-2≤0 8. -2x²+7x-3≥0 9. 4x²-12x+9<0 10. x²+4x+4≥0 Уровень 3. Сложный уровень (с дополнительными преобразованиями) 11. (x-1)(x+3)≤0 12. (2x-5)(x+1)>0 13. х(х-4)(х+2)≥0 (неравенство третьей степени, но решается аналогично) 14. x -9 x+2 ≥ 0 (дробно-рациональное) 15. x²-5x+6≤2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Задачи с 1 по 15 представляют собой неравенства различной степени сложности.

Уровень 1. Базовые задания

  1. 1. x² - 4 < 0
    Решение:
    • Разложим на множители: $$(x-2)(x+2) < 0$$.
    • Корни: $$x=2$$ и $$x=-2$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -2)$$, $$(-2, 2)$$, $$(2, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-3$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=3$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-2, 2)$$.
  2. 2. x² + 3x ≥ 0
    Решение:
    • Разложим на множители: $$x(x+3) \ge 0$$.
    • Корни: $$x=0$$ и $$x=-3$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -3]$$, $$[-3, 0]$$, $$[0, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-4$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=-1$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=1$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$$.
  3. 3. -x² + 9 ≤ 0
    Решение:
    • Умножим на -1 (знак неравенства изменится): $$x² - 9 \ge 0$$.
    • Разложим на множители: $$(x-3)(x+3) \ge 0$$.
    • Корни: $$x=3$$ и $$x=-3$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -3]$$, $$[-3, 3]$$, $$[3, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-4$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=4$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$$.
  4. 4. 2x² - 8 > 0
    Решение:
    • Вынесем общий множитель: $$2(x² - 4) > 0$$.
    • Разделим на 2: $$x² - 4 > 0$$.
    • Разложим на множители: $$(x-2)(x+2) > 0$$.
    • Корни: $$x=2$$ и $$x=-2$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -2)$$, $$(-2, 2)$$, $$(2, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-3$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=3$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$$.
  5. 5. x² - 6x + 8 ≤ 0
    Решение:
    • Найдем корни квадратного уравнения $$x² - 6x + 8 = 0$$ через дискриминант: $$D = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$$.
    • $$x_1 = (6 - \sqrt{4})/2 = (6-2)/2 = 2$$.
    • $$x_2 = (6 + \sqrt{4})/2 = (6+2)/2 = 4$$.
    • Разложим на множители: $$(x-2)(x-4) \le 0$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, 2]$$, $$[2, 4]$$, $$[4, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=1$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=3$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=5$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in [2, 4]$$.

Уровень 2. Средний уровень

  1. 6. x² - x - 6 > 0
    Решение:
    • Найдем корни уравнения $$x² - x - 6 = 0$$: $$D = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$.
    • $$x_1 = (1 - \sqrt{25})/2 = (1-5)/2 = -2$$.
    • $$x_2 = (1 + \sqrt{25})/2 = (1+5)/2 = 3$$.
    • Разложим на множители: $$(x+2)(x-3) > 0$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -2)$$, $$(-2, 3)$$, $$(3, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-3$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(+)(-)=-$$; при $$x=4$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$$.
  2. 7. 3x² + 5x - 2 ≤ 0
    Решение:
    • Найдем корни уравнения $$3x² + 5x - 2 = 0$$: $$D = 5² - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$$.
    • $$x_1 = (-5 - \sqrt{49})/(2*3) = (-5-7)/6 = -12/6 = -2$$.
    • $$x_2 = (-5 + \sqrt{49})/(2*3) = (-5+7)/6 = 2/6 = 1/3$$.
    • Разложим на множители: $$3(x+2)(x-1/3) \le 0$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -2]$$, $$[-2, 1/3]$$, $$[1/3, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-3$$, $$3(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$3(+)(-)=-$$; при $$x=1$$, $$3(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in [-2, 1/3]$$.
  3. 8. -2x² + 7x - 3 ≥ 0
    Решение:
    • Умножим на -1 (знак неравенства изменится): $$2x² - 7x + 3 \le 0$$.
    • Найдем корни уравнения $$2x² - 7x + 3 = 0$$: $$D = (-7)² - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$$.
    • $$x_1 = (7 - \sqrt{25})/(2*2) = (7-5)/4 = 2/4 = 1/2$$.
    • $$x_2 = (7 + \sqrt{25})/(2*2) = (7+5)/4 = 12/4 = 3$$.
    • Разложим на множители: $$2(x-1/2)(x-3) \le 0$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, 1/2]$$, $$[1/2, 3]$$, $$[3, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=0$$, $$2(-)(-) = +$$; при $$x=1$$, $$2(+)(-) = -$$; при $$x=4$$, $$2(+)(+) = +$$.
    • Ответ: $$x \in [1/2, 3]$$.
  4. 9. 4x² - 12x + 9 < 0
    Решение:
    • Заметим, что это полный квадрат: $$(2x - 3)² < 0$$.
    • Квадрат числа всегда неотрицателен.
    • Ответ: Решений нет (или $$x ∅$$).
  5. 10. x² + 4x + 4 ≥ 0
    Решение:
    • Заметим, что это полный квадрат: $$(x + 2)² \ge 0$$.
    • Квадрат числа всегда неотрицателен.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, \infty)$$ (любое действительное число).

Уровень 3. Сложный уровень

  1. 11. (x - 1)(x + 3) ≤ 0
    Решение:
    • Корни: $$x=1$$ и $$x=-3$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -3]$$, $$[-3, 1]$$, $$[1, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-4$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=2$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in [-3, 1]$$.
  2. 12. (2x - 5)(x + 1) > 0
    Решение:
    • Корни: $$x=5/2=2.5$$ и $$x=-1$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -1)$$, $$(-1, 2.5)$$, $$(2.5, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-2$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=0$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=3$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in (-\infty, -1) \cup (2.5, \infty)$$.
  3. 13. x(x - 4)(x + 2) ≥ 0
    Решение:
    • Это неравенство третьей степени. Корни: $$x=0$$, $$x=4$$, $$x=-2$$.
    • Упорядочим корни: $$-2, 0, 4$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -2]$$, $$[-2, 0]$$, $$[0, 4]$$, $$[4, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-3$$, $$(-)(-)(-)=-$$; при $$x=-1$$, $$(-)(-)(+)=+$$; при $$x=1$$, $$(+)(-)(+)=-$$; при $$x=5$$, $$(+)(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in [-2, 0] \cup [4, \infty)$$.
  4. 14. $$\frac{x^2-9}{x+2} \ge 0$$
    Решение:
    • Разложим числитель: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x+2} \ge 0$$.
    • Критические точки (нули числителя и знаменателя): $$x=3$$, $$x=-3$$, $$x=-2$$.
    • Упорядочим: $$-3, -2, 3$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, -3]$$, $$[-3, -2)$$, $$(-2, 3]$$, $$[3, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=-4$$, $$\frac{(-)(-)}{(-)} = -$$; при $$x=-2.5$$, $$\frac{(-)(-)}{(-)} = -$$; при $$x=0$$, $$\frac{(-)(+)}{(+)} = -$$; при $$x=4$$, $$\frac{(+)(+)}{(+)} = +$$.
    • Обратите внимание: $$x=-2$$ (знаменатель) не входит в решение. $$x=3$$ и $$x=-3$$ (числитель) входят.
    • Ответ: $$x \in [-3, -2) \cup [3, \infty)$$.
  5. 15. x² - 5x + 6 ≤ 2
    Решение:
    • Перенесем всё в одну часть: $$x² - 5x + 6 - 2 \le 0$$, то есть $$x² - 5x + 4 \le 0$$.
    • Найдем корни уравнения $$x² - 5x + 4 = 0$$: $$D = (-5)² - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$$.
    • $$x_1 = (5 - \sqrt{9})/2 = (5-3)/2 = 2/2 = 1$$.
    • $$x_2 = (5 + \sqrt{9})/2 = (5+3)/2 = 8/2 = 4$$.
    • Разложим на множители: $$(x-1)(x-4) \le 0$$.
    • Интервалы: $$(-\infty, 1]$$, $$[1, 4]$$, $$[4, \infty)$$.
    • Проверим знаки: при $$x=0$$, $$(-)(-)=+$$; при $$x=2$$, $$(-)(+)=-$$; при $$x=5$$, $$(+)(+)=+$$.
    • Ответ: $$x \in [1, 4]$$.

Ответ: Решения приведены для каждого неравенства выше.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю